Kąt środkowy i długość łuku ze średnicą

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt $\angle \mathsf{BSA}$: środkowy = 2 × wpisany $\angle \mathsf{BDA}$

1. Klucz 21.1: kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku - stąd $\angle \mathsf{BSA}=2\alpha$.
2. Krok 1. Kąt wpisany i środkowy
3. $\angle \mathsf{BDA}={30}^{\circ }$ - wpisany, oparty na łuku $\mathsf{AB}$
4. $\angle \mathsf{BSA}=2\cdot \angle \mathsf{BDA}=2\cdot {30}^{\circ }$
5. kąt środkowy $\angle \mathsf{BSA}$ i wpisany $\angle \mathsf{BDA}$ opierają się na tym samym łuku $\mathsf{AB}$
6. $\angle \mathsf{BSA}=\boxed{60^{\circ }}$

Łuk $\mathsf{BC}$: średnica $\mathsf{BD}$ daje kąt prosty (Tales), potem długość łuku

1. Klucz 21.2: średnica $\mathsf{BD}$ daje kąt prosty przy $\mathsf{C}$ (Tales). Wtedy $\angle \mathsf{BDC}=90^{\circ }-\beta$ to kąt wpisany na łuku $\mathsf{BC}$; kąt środkowy tego łuku to $2(90^{\circ }-\beta )$, a długość łuku to odpowiednia część obwodu $2\pi \mathsf{R}$.
2. Krok 1. Kąt $\angle \mathsf{BDC}$ z trójkąta $\mathsf{BCD}$
3. $\mathsf{BD}$ średnica → $\angle \mathsf{BCD}=90^{\circ }$ (Tales)
4. $\angle \mathsf{BDC}=90^{\circ }-\angle \mathsf{DBC}=90^{\circ }-{70}^{\circ }=\boxed{20^{\circ }}$
5. kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc w trójkącie $\mathsf{BCD}$ kąt przy $\mathsf{D}$ dopełnia $\beta$ do $90^{\circ }$
6. Krok 2. Kąt środkowy łuku $\mathsf{BC}$
7. $\angle \mathsf{BDC}$ to kąt wpisany oparty na łuku $\mathsf{BC}$
8. $\text{kąt sˊrodkowy}=2\cdot \angle \mathsf{BDC}=2\cdot 20^{\circ }=\boxed{40^{\circ }}$
9. łuk $\mathsf{BC}$ odpowiada kątowi środkowemu dwa razy większemu od wpisanego $\angle \mathsf{BDC}$
10. Krok 3. Długość łuku $\mathsf{BC}$
11. część obwodu $2\pi \cdot 40$ odpowiadająca kątowi $40^{\circ }$
12. $|\mathsf{BC}|=2\pi \mathsf{R}\cdot \frac{40}{360}=2\pi \cdot 40\cdot \frac{40}{360}$
13. długość łuku to taka część obwodu, jaką kąt środkowy stanowi z pełnych $360^{\circ }$
14. $|\mathsf{BC}|=\boxed{\frac{80}{9}\pi }$

Najczęstsze pomyłki: (1) w 21.1 - podanie $\alpha$ (wpisanego) zamiast $2\alpha$ (środkowego); (2) w 21.2 - pominięcie kroku Talesa i użycie $\beta$ jako kąta wpisanego łuku $\mathsf{BC}$ (a to $90^{\circ }-\beta$); (3) użycie średnicy $2R$ zamiast promienia $\mathsf{R}$ we wzorze na obwód; (4) policzenie pola wycinka zamiast długości łuku.