Kąt KDL w czworokącie wpisanym w okrąg

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: kąty proste dają okrąg, kąty wpisane dają wynik

1. Cały dowód opiera się na jednym pomyśle: dwa kąty proste przy przeciwległych wierzchołkach gwarantują okrąg opisany, a okrąg pozwala przenieść kąt z wierzchołka $\mathsf{B}$ (łatwy do policzenia) do wierzchołka $\mathsf{D}$ (szukany).
2. Krok 1. Dane
3. $\mathsf{CD}$ - wysokość, więc $\mathsf{CD}\perp \mathsf{AB}$; prosta $\mathsf{p}$ prostopadła do $\mathsf{BC}$ w punkcie $\mathsf{L}$.
4. $|\angle \mathsf{BAC}|=70^{\circ },|\angle \mathsf{KBD}|=35^{\circ },|\angle \mathsf{KDB}|=|\angle \mathsf{KLB}|=90^{\circ }$
5. Krok 2. Okrąg opisany na $\mathsf{KDBL}$
6. Na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe $180^{\circ }$.
7. $|\angle \mathsf{KDB}|+|\angle \mathsf{KLB}|=90^{\circ }+90^{\circ }$
8. $\mathsf{D}$ i $\mathsf{L}$ to przeciwległe wierzchołki czworokąta $\mathsf{KDBL}$, a przy każdym z nich kąt prosty - z prostopadłości $\mathsf{CD}\perp \mathsf{AB}$ i $\mathsf{p}\perp \mathsf{BC}$
9. $|\angle \mathsf{KDB}|+|\angle \mathsf{KLB}|=\boxed{180^{\circ }}$
10. Krok 3. Kąt $\angle \mathsf{KBL}$
11. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
12. $|\angle \mathsf{DBC}|=|\angle \mathsf{BAC}|=70^{\circ }$
13. punkt $\mathsf{D}$ leży na podstawie $\mathsf{AB}$, więc $\angle \mathsf{DBC}$ to po prostu kąt przy wierzchołku $\mathsf{B}$, równy kątowi przy $\mathsf{A}$
14. $|\angle \mathsf{KBL}|=|\angle \mathsf{DBC}|-|\angle \mathsf{KBD}|=70^{\circ }-35^{\circ }$
15. półprosta $\mathsf{BK}$ leży wewnątrz kąta $\angle \mathsf{DBC}$ i rozcina go na $\angle \mathsf{KBD}$ oraz $\angle \mathsf{KBL}$
16. $|\angle \mathsf{KBL}|=\boxed{35^{\circ }}$
17. Krok 4. Kąt $\angle \mathsf{KDL}$
18. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
19. $|\angle \mathsf{KDL}|=|\angle \mathsf{KBL}|$
20. $\mathsf{D}$ i $\mathsf{B}$ leżą na okręgu opisanym na $\mathsf{KDBL}$ po tej samej stronie cięciwy $\mathsf{KL}$, więc oba kąty są wpisane i oparte na tym samym łuku
21. $|\angle \mathsf{KDL}|=\boxed{35^{\circ }}$

Uznanie, że $|\angle \mathsf{KDL}|=180^{\circ }-|\angle \mathsf{KBL}|=145^{\circ }$ - tak działałoby dla kątów przy PRZECIWLEGŁYCH wierzchołkach czworokąta wpisanego w okrąg ($\mathsf{D}$ i $\mathsf{B}$ przeciwległe są w $\mathsf{KDBL}$, ale kąty $\angle \mathsf{KDL}$ i $\angle \mathsf{KBL}$ NIE są kątami wewnętrznymi tego czworokąta). Tu oba kąty opierają się na tej samej cięciwie $\mathsf{KL}$ z tej samej strony, więc są równe.

Warunek opisywalności okręgu można też uzasadnić inaczej: punkty $\mathsf{D}$ i $\mathsf{L}$ widzą odcinek $\mathsf{KB}$ pod kątem prostym, więc oba leżą na okręgu o średnicy $\mathsf{KB}$ (twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy).