Kąt wpisany i kąt środkowy w trójkącie AOB

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt wpisany ↔ środkowy, potem trójkąt równoramienny $\mathsf{AOB}$

1. Klucz: dwa fakty łączą kąty - kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego (ten sam łuk $\mathsf{AB}$), a trójkąt $\mathsf{AOB}$ z ramionami-promieniami jest równoramienny (kąty przy podstawie równe). Odpowiedź zawsze wynosi $90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.
2. Krok 1. Kąt środkowy $\angle \mathsf{AOB}$
3. kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (ten sam łuk $\mathsf{AB}$)
4. $\angle \mathsf{AOB}=2\cdot \angle \mathsf{BCA}=2\cdot {25}^{\circ }=\boxed{50^{\circ }}$
5. kąt środkowy $\angle \mathsf{AOB}$ oparty na łuku $\mathsf{AB}$ jest dwa razy większy od kąta wpisanego $\angle \mathsf{BCA}$ opartego na tym samym łuku
6. Krok 2. Kąt $\angle \mathsf{ABO}$ w trójkącie $\mathsf{AOB}$
7. $\mathsf{OA}=\mathsf{OB}=\mathsf{R}$ → trójkąt równoramienny
8. $\angle \mathsf{ABO}=\frac{180^{\circ }-\angle \mathsf{AOB}}{2}=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}$
9. kąty przy podstawie $\mathsf{AB}$ są równe; suma kątów trójkąta to $180^{\circ }$, więc każdy z nich to połowa tego, co zostaje po odjęciu kąta przy $\mathsf{O}$
10. $\angle \mathsf{ABO}=\boxed{65^{\circ }}$

Najczęstsze pomyłki: (1) pomylenie kąta wpisanego ze środkowym (branie $2\cdot 25^{\circ }$ zamiast połowy); (2) zapomnienie, że $\mathsf{AOB}$ jest równoramienny - kąty przy $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ są równe; (3) podanie kąta środkowego $50^{\circ }$ zamiast kąta przy podstawie $65^{\circ }$.