Kąt wpisany z przecinającymi się cięciwami

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przez łuki okręgu

1. Skrótowo: $\angle \mathsf{BDA}=90^{\circ }-{86}^{\circ }+\frac{{60}^{\circ }}{2}=34^{\circ }$ - łączy trzy fakty: kąt środkowy $=$ łuk, kąt między cięciwami $=$ pół sumy łuków, kąt wpisany $=$ pół łuku.
2. Krok 1. Co wiemy
3. $\mathsf{BD}$ - średnica, kąt środkowy $\mathsf{COB}={60}^{\circ }$, kąt cięciw $\mathsf{AKD}={86}^{\circ }$
4. $\angle \mathsf{COB}={60}^{\circ },\angle \mathsf{AKD}={86}^{\circ }$
5. Krok 2. Łuk $\mathsf{BC}$ i łuk $\mathsf{AD}$
6. kąt między cięciwami: $\angle \mathsf{AKD}=\frac{1}{2}(\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}}+\stackrel{⌢}{\mathsf{BC}})$
7. $\stackrel{⌢}{\mathsf{BC}}=\angle \mathsf{COB}=\boxed{60^{\circ }}$
8. kąt środkowy $\mathsf{COB}$ jest równy łukowi $\mathsf{BC}$, na którym się opiera
9. $86=\frac{1}{2}(\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}}+60)$
10. kąt $\mathsf{AKD}$ to połowa sumy łuków odciętych przez obie cięciwy
11. $\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}}=172-60=\boxed{112^{\circ }}$
12. Krok 3. Łuk $\mathsf{BA}$
13. $\mathsf{BD}$ to średnica - łuki $\mathsf{AD}$ i $\mathsf{BA}$ tworzą półokrąg po stronie $\mathsf{A}$
14. $\stackrel{⌢}{\mathsf{BA}}+\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}}=180^{\circ }$
15. od punktu $\mathsf{B}$ do punktu $\mathsf{D}$ przez $\mathsf{A}$ jest dokładnie pół okręgu, czyli $180^{\circ }$
16. $\stackrel{⌢}{\mathsf{BA}}=180-112=\boxed{68^{\circ }}$
17. Krok 4. Kąt wpisany $\mathsf{BDA}$
18. $\angle \mathsf{BDA}$ opiera się na łuku $\mathsf{BA}$, więc jest jego połową
19. $\angle \mathsf{BDA}=\frac{1}{2}\cdot \stackrel{⌢}{\mathsf{BA}}=\frac{1}{2}\cdot 68$
20. kąt wpisany jest równy połowie łuku, na którym się opiera
21. $\angle \mathsf{BDA}=\boxed{34^{\circ }}$

Najczęstsza pomyłka: potraktowanie kąta $\mathsf{AKD}=86^{\circ }$ jak kąta wpisanego (czyli wzięcie samego $30^{\circ }$ albo $86^{\circ }$). To kąt między cięciwami - liczy się jako połowa SUMY obu łuków ($\mathsf{AD}$ i $\mathsf{BC}$), nie jednego.