Oblicz sumę kątów wpisanych

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt wpisany czyta swój łuk

1. Przesunięcie punktu $\mathsf{D}$ po łuku zmienia obie miary z osobna, ale ich suma zostaje bez zmian.
2. Dane
3. Kąt wpisany ma miarę połowy łuku, na którym jest oparty.
4. $\beta =\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathsf{DC}},\gamma =\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}},\beta +\gamma ={100}^{\circ }$
5. Łuk pod obydwoma kątami
6. Oba kąty można przenieść do wierzchołków $\mathsf{A}$ i $\mathsf{C}$, bo każdy z nich opiera się wtedy na tym samym łuku co wcześniej.
7. $\stackrel{⌢}{\mathsf{DC}}+\stackrel{⌢}{\mathsf{AD}}=2\beta +2\gamma =2\cdot 100^{\circ }$
8. punkt $\mathsf{D}$ dzieli łuk $\mathsf{ADC}$ dokładnie na te dwa łuki
9. $\stackrel{⌢}{\mathsf{ADC}}=\boxed{200^{\circ }}$

Suma $\beta +\gamma$ zależy wyłącznie od miary łuku $\mathsf{ADC}$. Położenie punktu $\mathsf{D}$ na tym łuku nie ma znaczenia, bo o ile jeden z łuków rośnie, o tyle drugi maleje.

Mylenie miary kąta wpisanego z miarą jego łuku. Kąt wpisany ma miarę <strong>połowy</strong> łuku, na którym jest oparty, więc taka pomyłka daje wynik dwa razy za duży albo dwa razy za mały.<br><br>Druga częsta pomyłka to wzięcie łuku po niewłaściwej stronie cięciwy $\mathsf{AC}$: obie miary dają razem $360^{\circ }$, a nie $180^{\circ }$.