Trapez równoramienny z dwusieczną: kąt 60°

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: trójkąt równoramienny i trójkąt prostokątny

1. To należało wykazać.
2. Krok 1. Trójkąt $\mathsf{BDC}$
3. oznaczenia: $|\mathsf{CD}|=\mathsf{a}$, $|\mathsf{AB}|=2a$, $|\sphericalangle \mathsf{ABC}|=2\alpha$
4. $|\sphericalangle \mathsf{CBD}|=|\sphericalangle \mathsf{DBA}|=\alpha$
5. przekątna $\mathsf{BD}$ leży na dwusiecznej kąta $\mathsf{ABC}$, więc dzieli go na dwa kąty o mierze $\alpha$
6. $|\sphericalangle \mathsf{BDC}|=|\sphericalangle \mathsf{DBA}|=\alpha$
7. kąty $\mathsf{DBA}$ i $\mathsf{BDC}$ są naprzemianległe przy prostych równoległych $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{CD}$, więc trójkąt $\mathsf{BDC}$ ma dwa równe kąty i jest równoramienny
8. $|\mathsf{BC}|=|\mathsf{CD}|=\mathsf{a},|\mathsf{AD}|=|\mathsf{BC}|=\boxed{a}$
9. Krok 2. Odcinek $\mathsf{EA}$
10. $\mathsf{E}$ to spodek wysokości z wierzchołka $\mathsf{D}$
11. $|\mathsf{EA}|=\frac{|\mathsf{AB}|-|\mathsf{CD}|}{2}=\frac{2a-\mathsf{a}}{2}$
12. trapez jest równoramienny, więc różnica podstaw rozkłada się po równo na oba końce dłuższej podstawy
13. $|\mathsf{EA}|=\boxed{\frac{1}{2}a}$
14. Krok 3. Trójkąt prostokątny $\mathsf{EAD}$
15. $\cos 2\alpha =\frac{|\mathsf{EA}|}{|\mathsf{AD}|}=\frac{\frac{1}{2}\mathsf{a}}{\mathsf{a}}$
16. kąt przy wierzchołku $\mathsf{A}$ ma miarę $2\alpha$, bo kąty przy dłuższej podstawie trapezu równoramiennego są równe
17. $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$
18. kąt ostry, którego cosinus jest równy $\frac{1}{2}$, ma miarę $60^{\circ }$
19. $|\sphericalangle \mathsf{ABC}|=2\alpha =\boxed{60^{\circ }}$

Inny sposób: odcinek $\mathsf{DF}$ równoległy do ramienia $\mathsf{BC}$ ($\mathsf{F}$ na podstawie $\mathsf{AB}$) ma długość $\mathsf{a}$, a $|\mathsf{AF}|=|\mathsf{FB}|=\mathsf{a}$, więc trójkąt o bokach $\mathsf{DF}$, $\mathsf{FA}$ i $\mathsf{AD}$ jest równoboczny i kąt przy podstawie ma $60^{\circ }$.