Oblicz promień okręgu opisanego

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: dwa razy twierdzenie cosinusów

1. Przekątna $\mathsf{BD}$ jest wspólnym bokiem obu trójkątów, dlatego oba zapisy jej kwadratu można przyrównać i wyznaczyć z nich cosinus.
2. Przekątna $\mathsf{BD}$ dzieli czworokąt
3. kąty przy wierzchołkach $\mathsf{C}$ i $\mathsf{A}$ leżą naprzeciw siebie
4. $\angle \mathsf{C}+\angle \mathsf{A}=180^{\circ }$
5. Trójkąt z kątem $\alpha$
6. wierzchołek $\mathsf{C}$
7. $|\mathsf{BD}{|}^2={24}^2+{35}^2-2\cdot 24\cdot 35\cdot \cos \alpha$
8. twierdzenie cosinusów dla boków wychodzących z wierzchołka $\mathsf{C}$
9. $|\mathsf{BD}{|}^2=576+1225-1680\cos \alpha$
10. Trójkąt z kątem $180^{\circ }-\alpha$
11. wierzchołek $\mathsf{A}$
12. $|\mathsf{BD}{|}^2={11}^2+{24}^2-2\cdot 11\cdot 24\cdot \cos (180^{\circ }-\alpha )$
13. cosinus kąta przyległego ma przeciwny znak, więc minus zmienia się w plus
14. $|\mathsf{BD}{|}^2=121+576+528\cos \alpha$
15. Cosinus kąta $\alpha$
16. $576+1225-1680\cos \alpha =121+576+528\cos \alpha$
17. wyrazy z cosinusem przechodzą na prawą stronę, same liczby na lewą
18. $1104=2208\cos \alpha$
19. dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy cosinusie
20. $\cos \alpha =\frac{1104}{2208}=\boxed{\frac{1}{2}}$
21. Długość przekątnej $\mathsf{BD}$
22. $|\mathsf{BD}{|}^2=576+1225-1680\cdot \frac{1}{2}$
23. wracamy do trójkąta z kątem $\alpha$ i wstawiamy wyznaczony cosinus
24. $|\mathsf{BD}{|}^2=\boxed{961}$
25. długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
26. $|\mathsf{BD}|=\boxed{31}$
27. Sinus kąta $\alpha$
28. $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$
29. kąt czworokąta wypukłego ma dodatni sinus, więc przed pierwiastkiem stoi plus
30. $\sin \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
31. Twierdzenie sinusów
32. $\frac{|\mathsf{BD}|}{\sin \alpha }=2R$
33. przekątna jest bokiem trójkąta wpisanego w ten sam okrąg, a naprzeciw niej leży kąt $\alpha$
34. $2R=\frac{31}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\boxed{\frac{62\sqrt{3}}{3}}$
35. promień to połowa średnicy
36. $\mathsf{R}=\boxed{\frac{31\sqrt{3}}{3}}$
37. Odpowiedź
38. $2R=\boxed{\frac{62\sqrt{3}}{3}}$

Najczęstsza pomyłka: <strong>przepisanie tego samego znaku</strong> w obu trójkątach. Przy wierzchołku $\mathsf{A}$ kąt wynosi $180^{\circ }-\alpha$, więc jego cosinus jest przeciwny i przed podwojonym iloczynem boków stoi plus, nie minus.