Wykaż nierówność w trapezie

Rozwiązanie krok po kroku

Wysokość z Pitagorasa i nierówność między średnimi

1. Nierówność z ostatniego kroku jest prawdziwa, a wszystkie przekształcenia były równoważne, więc teza jest prawdziwa.
2. Warunek wpisania okręgu
3. $\mathsf{a}+\mathsf{b}=2c\Rightarrow \boxed{c=\frac{a+b}{2}}$
4. Wysokość z twierdzenia Pitagorasa
5. ${\left(\frac{\mathsf{a}-\mathsf{b}}{2}\right)}^2+{\mathsf{h}}^2={\mathsf{c}}^2$
6. Wysokość, ramię i rzut ramienia na dłuższą podstawę tworzą trójkąt prostokątny; rzut ma długość połowy różnicy podstaw.
7. ${\left(\frac{\mathsf{a}-\mathsf{b}}{2}\right)}^2+{\mathsf{h}}^2={\left(\frac{\mathsf{a}+\mathsf{b}}{2}\right)}^2$
8. Różnica kwadratów sumy i różnicy podstaw jest równa czterokrotności ich iloczynu.
9. ${\mathsf{h}}^2=\frac{(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2-(\mathsf{a}-\mathsf{b}{)}^2}{4}=\mathsf{ab}$
10. Wysokość jest dodatnia.
11. $\boxed{h=\sqrt{ab}}$
12. Brakująca podstawa z danych
13. $\mathsf{b}=2c-\mathsf{a},\mathsf{h}=\sqrt{\mathsf{ab}}=\boxed{\sqrt{a(2c-a)}}$
14. Teza przez dane z treści
15. $\mathsf{e}>\sqrt{2ab}$
16. Najpierw zapisujemy tezę przez długości obu podstaw.
17. $\sqrt{\mathsf{ab}+\frac{(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2}{4}}>\sqrt{2ab}$
18. Podstawiamy brakującą podstawę wyznaczoną z danych.
19. $\boxed{\sqrt{a(2c-a)+c^2}>\sqrt{2a(2c-a)}}$
20. Przekształcenia równoważne
21. $\sqrt{\mathsf{ab}+\frac{(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2}{4}}>\sqrt{2ab}$
22. Obie strony są dodatnie, więc podnosimy je do kwadratu.
23. $\mathsf{ab}+\frac{(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2}{4}>2ab$
24. Zostawiamy po lewej tylko kwadrat sumy podstaw.
25. $(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2>4ab$
26. Kwadrat sumy minus poczwórny iloczyn to kwadrat różnicy.
27. $\boxed{(a-b{)}^2>0}$
28. Powrót do danych z treści
29. $(\mathsf{a}-\mathsf{b}{)}^2>0$
30. Różnica podstaw zapisana przez dane różni się od nawiasu w kwadracie tylko dodatnim czynnikiem.
31. $\boxed{(\mathbf{a}-\mathbf{c}{)}^2>0}$