Oblicz pole trapezu z przekątnej

Rozwiązanie krok po kroku

Podobieństwo trójkątów z rozcięcia przekątną

1. Ten sam rachunek działa dla każdego trapezu prostokątnego, w którym krótsza przekątna tworzy kąt prosty z ramieniem ukośnym.
2. Dane
3. przekątna $\mathsf{EG}$ tnie trapez na trójkąty $\mathsf{EFG}$ i $\mathsf{EGH}$
4. $|\mathsf{EG}|=3,|\mathsf{FG}|=4$
5. Trzeci bok trójkąta $\mathsf{EFG}$
6. $|\mathsf{EF}{|}^2=|\mathsf{EG}{|}^2+|\mathsf{FG}{|}^2$
7. W trójkącie $\mathsf{EFG}$ kąt prosty leży przy wierzchołku $\mathsf{G}$, więc przeciwprostokątną jest podstawa $\mathsf{EF}$.
8. $|\mathsf{EF}{|}^2=9+16=\boxed{25}$
9. Pierwiastkujemy obie strony, bo długość boku jest dodatnia.
10. $|\mathsf{EF}|=\boxed{5}$
11. Wysokość $\mathsf{EH}$
12. $\frac{|\mathsf{EH}|}{|\mathsf{FG}|}=\frac{|\mathsf{EG}|}{|\mathsf{EF}|}$
13. Trójkąty $\mathsf{EGH}$ i $\mathsf{FGE}$ są prostokątne, a kąt $\mathsf{HGE}$ równa się kątowi $\mathsf{GEF}$, bo podstawy trapezu są równoległe. Podobne trójkąty mają proporcjonalne boki.
14. $|\mathsf{EH}|=\frac{|\mathsf{EG}|\cdot |\mathsf{FG}|}{|\mathsf{EF}|}=\frac{12}{5}$
15. Podstawiamy trzy znane długości.
16. $|\mathsf{EH}|=\boxed{2,4}$
17. Krótsza podstawa $\mathsf{HG}$
18. $\frac{|\mathsf{HG}|}{|\mathsf{EG}|}=\frac{|\mathsf{EG}|}{|\mathsf{EF}|}$
19. W tej samej parze podobnych trójkątów bokowi $\mathsf{HG}$ odpowiada $\mathsf{EG}$, a bokowi $\mathsf{EG}$ odpowiada $\mathsf{EF}$.
20. $|\mathsf{HG}|=\frac{|\mathsf{EG}{|}^2}{|\mathsf{EF}|}=\frac{9}{5}$
21. Przekątna występuje w liczniku dwa razy, więc podnosimy ją do kwadratu.
22. $|\mathsf{HG}|=\boxed{1,8}$
23. Pole trapezu $\mathsf{EFGH}$
24. $\mathsf{P}=\frac{(|\mathsf{EF}|+|\mathsf{HG}|)\cdot |\mathsf{EH}|}{2}$
25. Suma podstaw razy wysokość, podzielona przez dwa.
26. $\mathsf{P}=\frac{(5+1,8)\cdot 2,4}{2}=\frac{16,32}{2}$
27. Zostaje podzielić iloczyn przez dwa.
28. $\mathsf{P}=\boxed{8,16}$

Przekątna $\mathsf{EG}$ nie jest wysokością trapezu. Wysokość to ramię $\mathsf{EH}$ prostopadłe do obu podstaw, dlatego w rachunku występuje $2,4$, a nie $3$.