Obwód czworokąta wpisanego w okrąg

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: twierdzenie Talesa i wzory skróconego mnożenia

1. Krok 1. Dane
2. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}=405,|\mathsf{AB}|=39,|\mathsf{BC}|=3,\mathsf{AB}\perp \mathsf{BC}$
3. Krok 2. Przekątna $\mathsf{AC}$
4. kąt $\mathsf{ABC}=90^{\circ }$, więc $\mathsf{AC}$ to średnica (tw. Talesa) i kąt $\mathsf{ADC}=90^{\circ }$
5. $|\mathsf{AC}{|}^2=|\mathsf{AB}{|}^2+|\mathsf{BC}{|}^2$
6. twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $\mathsf{ABC}$
7. $|\mathsf{AC}{|}^2=1521+9=1530$
8. długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
9. $|\mathsf{AC}|=\boxed{3\sqrt{170}}$
10. Krok 3. Pole trójkąta $\mathsf{ACD}$
11. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ACD}}={\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}-{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABC}}$
12. przekątna $\mathsf{AC}$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a $\mathsf{ABC}$ jest prostokątny
13. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ACD}}=405-58.5=\boxed{346.5}$
14. Krok 4. Suma $|\mathsf{CD}|+|\mathsf{DA}|$
15. oznacz $\mathsf{x}=|\mathsf{CD}|$, $\mathsf{y}=|\mathsf{DA}|$; trójkąt $\mathsf{ACD}$ jest prostokątny w $\mathsf{D}$
16. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2=|\mathsf{AC}{|}^2=1530\text{i}\mathsf{x}\cdot \mathsf{y}=2{\mathsf{P}}_{\mathsf{ACD}}=693$
17. wzór skróconego mnożenia łączy oba równania układu
18. $(\mathsf{x}+\mathsf{y}{)}^2=1530+2\cdot 693=2916$
19. suma długości boków jest dodatnia
20. $\mathsf{x}+\mathsf{y}=\boxed{54}$
21. Krok 5. Obwód i promień
22. $\mathsf{L}=39+3+54=\boxed{96}$
23. $\mathsf{AC}$ to średnica okręgu opisanego, więc promień jest jej połową
24. $\boxed{\mathbf{L}=96,\mathbf{R}=\frac{3\sqrt{170}}{2}}$

Najczęstsza pomyłka: pisanie $(\mathsf{x}+\mathsf{y}{)}^2={\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2$ bez składnika $2xy$ - wtedy suma boków wychodzi równa $|\mathsf{AC}|$, co jest niemożliwe (łamana $\mathsf{CDA}$ jest dłuższa od cięciwy $\mathsf{CA}$).