Pole trapezu prostokątnego z kątem 45° (E8)

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pole trapezu z kątem 45°

1. Krok 1. Dane
2. $\mathsf{BC}$ prostopadły do podstaw, więc $\mathsf{BC}$ jest wysokością trapezu
3. $\mathsf{BC}=6\text{cm},\angle \mathsf{DAB}=45^{\circ },\mathsf{AB}=4\cdot \mathsf{CD}$
4. Krok 2. Rzut boku ukośnego
5. spuszczamy wysokość $\mathsf{DE}$ z $\mathsf{D}$ na $\mathsf{AB}$
6. $△\mathsf{ADE}:\angle \mathsf{E}=90^{\circ },\angle \mathsf{A}=45^{\circ }$
7. trójkąt $\mathsf{ADE}$ ma kąt prosty przy $\mathsf{E}$ i kąt $45^{\circ }$ przy $\mathsf{A}$, więc trzeci kąt też ma $45^{\circ }$
8. $\mathsf{AE}=\mathsf{DE}=\mathsf{BC}=\boxed{6}$
9. trójkąt prostokątny równoramienny: rzut $\mathsf{AE}$ równy wysokości $\mathsf{BC}$
10. Krok 3. Podstawy CD i AB
11. $\mathsf{AB}=\mathsf{CD}+\mathsf{AE}=\mathsf{CD}+6$
12. $\mathsf{AB}$ to suma odcinka $\mathsf{EB}$ (równego górnej podstawie $\mathsf{CD}$) i rzutu $\mathsf{AE}$
13. $4\cdot \mathsf{CD}=\mathsf{CD}+6$
14. podstawiamy warunek: $\mathsf{AB}$ jest cztery razy większe od $\mathsf{CD}$
15. $\mathsf{CD}=\boxed{2}$
16. z równania wyznaczamy krótszą podstawę $\mathsf{CD}$
17. $\mathsf{AB}=4\cdot 2=\boxed{8}$
18. Krok 4. Pole trapezu
19. $\mathsf{P}=\frac{\mathsf{AB}+\mathsf{CD}}{2}\cdot \mathsf{BC}$
20. pole trapezu = półsuma podstaw razy wysokość
21. $\mathsf{P}=\frac{8+2}{2}\cdot 6$
22. $\mathsf{P}=\frac{10}{2}\cdot 6$
23. $\mathsf{P}=\boxed{30{\text{cm}}^2}$

Kąt $45^{\circ }$ jest kluczem: daje trójkąt prostokątny równoramienny, w którym rzut boku ukośnego równa się wysokości ($\mathsf{AE}=\mathsf{BC}$). Dzięki temu nie potrzeba trygonometrii.