Wyznacz stosunek pól trójkątów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: łańcuch podobnych trójkątów

1. Dane
2. $\mathsf{KL}\perp \mathsf{LM}$, $\mathsf{MN}\perp \mathsf{LM}$ oraz $\mathsf{LM}\parallel \mathsf{BD}$
3. $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AD}|}=\mathsf{k}$
4. Łańcuch podobnych trójkątów prostokątnych
5. wszystkie odcinki wyrażamy przez $|\mathsf{BK}|$
6. $|\mathsf{BK}|$
7. $\mathsf{KL}\perp \mathsf{BD}$, więc trójkąt $\mathsf{KBL}$ jest podobny do trójkąta $\mathsf{DAB}$, a stąd $|\mathsf{BL}|:|\mathsf{BK}|=|\mathsf{AB}|:|\mathsf{AD}|$.
8. $|\mathsf{BL}|=\mathsf{k}\cdot |\mathsf{BK}|$
9. $\mathsf{LM}\parallel \mathsf{BD}$, więc z twierdzenia Talesa $|\mathsf{DM}|:|\mathsf{BL}|=|\mathsf{AB}|:|\mathsf{AD}|$.
10. $|\mathsf{DM}|={\mathsf{k}}^2\cdot |\mathsf{BK}|$
11. $\mathsf{MN}\perp \mathsf{BD}$, więc trójkąt $\mathsf{MDN}$ również jest podobny do trójkąta $\mathsf{DAB}$.
12. $|\mathsf{DN}|={\mathsf{k}}^3\cdot |\mathsf{BK}|$
13. Stosunek przyprostokątnych
14. sąsiednie ogniwa łańcucha różnią się mnożnikiem $\mathsf{k}$
15. $\frac{|\mathsf{DN}|}{|\mathsf{DM}|}=\boxed{k}$
16. Wyznaczenie k
17. $\mathsf{k}=2$
18. z warunku $\mathsf{k}>0$ równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie
19. $\mathsf{k}=\boxed{2}$

Wszystkie odcinki wyraziły się przez $|\mathsf{BK}|$, który skraca się w stosunku. Teza zachodzi więc dla dowolnego położenia punktów na bokach prostokąta.