Wyznacz stosunek podstaw

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pola przez podstawy i wysokość

1. Wysokość $\mathsf{h}$ skraca się w stosunku pól, więc wynik nie zależy od tego, jak wysoki jest trapez.
2. Krok 1. Rysunek i dana
3. $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{CD}|}=5$
4. Krok 2. Długość odcinka EF
5. szerokość trapezu zmienia się jednostajnie od $|\mathsf{AB}|$ do $|\mathsf{CD}|$, a punkt $\mathsf{E}$ odcina 3 z 5 części ramienia $\mathsf{AD}$
6. $|\mathsf{EF}|=|\mathsf{AB}|+\frac{3}{5}(|\mathsf{CD}|-|\mathsf{AB}|)$
7. porządkujemy wyrażenie względem obu podstaw
8. $|\mathsf{EF}|=\boxed{\frac{2|AB|+3|CD|}{5}}$
9. Krok 3. Pole ABFE
10. część $\mathsf{ABFE}$ zajmuje 3 z 5 części wysokości $\mathsf{h}$
11. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABFE}}=\frac{|\mathsf{AB}|+|\mathsf{EF}|}{2}\cdot \frac{3}{5}\mathsf{h}$
12. wstawiamy wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
13. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABFE}}=\boxed{\frac{h(21|AB|+9|CD|)}{50}}$
14. Krok 3. Pole EFCD
15. na część $\mathsf{EFCD}$ zostaje pozostałe 2 z 5 części wysokości $\mathsf{h}$
16. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}=\frac{|\mathsf{EF}|+|\mathsf{CD}|}{2}\cdot \frac{2}{5}\mathsf{h}$
17. wstawiamy ten sam wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
18. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}=\boxed{\frac{h(2|AB|+8|CD|)}{25}}$
19. Krok 4. Podstawienie danego stosunku podstaw
20. dana wyznacza obie podstawy z dokładnością do wspólnej skali $\mathsf{k}$
21. $|\mathsf{AB}|=5k,|\mathsf{CD}|=\mathsf{k}$
22. oba pola sprowadzamy do wspólnego mianownika $50$, więc różnią się już tylko licznikiem
23. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABFE}}=\frac{114hk}{50},{\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}=\frac{36hk}{50}$
24. odcinek $\mathsf{EF}$ dzieli trapez na dwie części, więc ich pola sumują się do pola całości
25. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}={\mathsf{P}}_{\mathsf{ABFE}}+{\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}=\frac{150hk}{50}$
26. wspólny czynnik znika, gdy porównujemy pola między sobą
27. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABFE}}:{\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}:{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}=\boxed{114:36:150}$
28. Krok 5. Teza
29. proporcja z kroku 4 wiąże szukaną wielkość z tą podaną liczbowo w treści
30. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}}=\frac{36}{150}=\frac{6}{25}$
31. mnożymy stronami przez podaną w treści wartość
32. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{EFCD}}=\frac{6}{25}\cdot 150=\boxed{36}$

Odcinek $\mathsf{EF}$ dzieli wysokość trapezu w stosunku 3 : 2, ale pól NIE dzieli w tym samym stosunku: każda z części ma inną parę podstaw.