Trójkąt prostokątny: pole i środek okręgu opisanego

Rozwiązanie krok po kroku

Pole: przeciwprostokątna jako podstawa, wysokość z wierzchołka kąta prostego

1. Klucz: kąt prosty przy $\mathsf{B}$ czyni $\mathsf{AC}$ przeciwprostokątną. Bo $\mathsf{AC}$ leży wzdłuż osi, a wysokość z $\mathsf{B}$ jest do niej prostopadła - obie długości bierzemy wprost z kratek, bez pierwiastków.
2. Krok 1. Podstawa i wysokość
3. kąt prosty przy $\mathsf{B}$ → $\mathsf{AC}$ to przeciwprostokątna
4. $|\mathsf{AC}|=|11-(1)|=10$
5. $\mathsf{AC}$ jest równoległa do osi $\mathsf{Ox}$, więc długość to różnica współrzędnych zmieniających się wzdłuż tego boku
6. $\mathsf{h}=|2-(5)|=\boxed{3}$
7. Krok 2. Pole
8. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{AC}|\cdot \mathsf{h}$
9. wzór na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości do niej
10. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3=\boxed{15}$

Środek okręgu opisanego: to środek przeciwprostokątnej $\mathsf{AC}$

1. Uwaga: środkiem okręgu opisanego jest środek przeciwprostokątnej $\mathsf{AC}$, a NIE środek innego boku ani wierzchołek $\mathsf{B}$. Punkt $\mathsf{B}$ (kąt prosty) leży na okręgu, ale nie jest jego środkiem.
2. Krok 1. Przeciwprostokątna to średnica
3. $\mathsf{S}$ = środek $\mathsf{AC}$, promień $=\frac{|\mathsf{AC}|}{2}$
4. $\mathsf{A}=(1,5),\mathsf{C}=(11,5)$
5. Krok 2a. Odcięta $\mathsf{S}$
6. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{S}}=\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{x}}_{\mathsf{C}}}{2}=\frac{1+(11)}{2}$
7. pierwsza współrzędna środka to średnia odciętych końców $\mathsf{A}$ i $\mathsf{C}$
8. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{S}}=\boxed{6}$
9. Krok 2b. Rzędna $\mathsf{S}$
10. ${\mathsf{y}}_{\mathsf{S}}=\frac{{\mathsf{y}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{y}}_{\mathsf{C}}}{2}=\frac{5+(5)}{2}$
11. druga współrzędna środka to średnia rzędnych końców $\mathsf{A}$ i $\mathsf{C}$
12. ${\mathsf{y}}_{\mathsf{S}}=\boxed{5}$
13. Krok 3. Środek okręgu
14. $\mathsf{S}=\boxed{\left(6,5\right)}$

Najczęstsze pomyłki: (1) w polu - liczenie z przyprostokątnych $\mathsf{AB}$, $\mathsf{BC}$, które są niewymierne, zamiast z przeciwprostokątnej $\mathsf{AC}$ i wysokości odczytanych z siatki; (2) branie za środek okręgu środka boku $\mathsf{AB}$ lub $\mathsf{BC}$ zamiast przeciwprostokątnej $\mathsf{AC}$; (3) zapominanie o dzieleniu przez $2$ przy liczeniu środka odcinka.