Kwadrat ze środkiem przekątnych

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: odległość punktów $\mathsf{CS}$

1. Kluczowa obserwacja: $\mathsf{S}$ jest środkiem przekątnych, więc $|\mathsf{AS}|$ to dokładnie pół przekątnej. Dla pola wystarczy $|\mathsf{AS}{|}^2$ (bez pierwiastka), dla pozostałych wielkości potrzebny pełny rachunek $|\mathsf{AS}|$, a dla wierzchołka przeciwległego - wzór na środek odcinka odwrócony do $\mathsf{C}=2S-\mathsf{A}$.
2. Krok 1. Dane i obserwacja
3. $\mathsf{S}$ jest środkiem odcinka łączącego $\mathsf{C}$ z wierzchołkiem przeciwległym.
4. $\mathsf{C}=(11,-2),\mathsf{S}=(-1,3)$
5. Krok 2. Wzór na środek odcinka
6. Jeśli $\mathsf{S}$ jest środkiem $\overline{\mathsf{AC}}$, to $\mathsf{S}=\left(\frac{{\mathsf{A}}_{\mathsf{x}}+{\mathsf{C}}_{\mathsf{x}}}{2},\frac{{\mathsf{A}}_{\mathsf{y}}+{\mathsf{C}}_{\mathsf{y}}}{2}\right)$. Stąd ${\mathsf{C}}_{\mathsf{x}}=2{\mathsf{S}}_{\mathsf{x}}-{\mathsf{A}}_{\mathsf{x}}$ i ${\mathsf{C}}_{\mathsf{y}}=2{\mathsf{S}}_{\mathsf{y}}-{\mathsf{A}}_{\mathsf{y}}$.
7. $\mathsf{C}=(2{\mathsf{S}}_{\mathsf{x}}-{\mathsf{A}}_{\mathsf{x}},2{\mathsf{S}}_{\mathsf{y}}-{\mathsf{A}}_{\mathsf{y}})$
8. Krok 3. Podstaw i policz
9. ${\mathsf{C}}_{\mathsf{x}}=2\cdot (-1)-11,{\mathsf{C}}_{\mathsf{y}}=2\cdot 3-(-2)$
10. po dwa działania na każdą współrzędną
11. ${\mathsf{C}}_{\mathsf{x}}=-13,{\mathsf{C}}_{\mathsf{y}}=8$
12. współrzędne wierzchołka przeciwległego do $\mathsf{C}$
13. $\mathsf{C}=\boxed{(-13,8)}$

Najczęstsza pomyłka: pominięcie nawiasów przy podstawianiu do wzoru, np. $(11--1{)}^2$ zapisane jako $11--1^2$. Wtedy potęga zadziała tylko na drugą liczbę i wynik będzie błędny.<br><br>Druga pułapka: pomylenie połowy przekątnej z bokiem. $|\mathsf{AS}|$ to <strong>pół przekątnej</strong>, a bok kwadratu to $|\mathsf{AS}|\sqrt{2}$, nie $|\mathsf{AS}|$.

$\mathsf{S}$ jest środkiem przekątnych w każdym równoległoboku, ale tylko w kwadracie (i prostokącie) zachodzi $|\mathsf{AS}|=|\mathsf{BS}|=|\mathsf{CS}|=|\mathsf{DS}|$, bo przekątne są równej długości.