Równoległobok, przecięcie przekątnych (proof)

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: $\mathsf{A}\to \mathsf{B}\to \mathsf{S}$

1. Dane zadania
2. $\mathsf{AB}:\mathsf{y}=\mathsf{x}+6\mathsf{AD}:\mathsf{y}=-4x+21$
3. $\mathsf{D}=(5,1),\mathsf{K}=(4,10)(\text{sˊrodek }\mathsf{AB})$
4. Krok 1. Wierzchołek $\mathsf{A}$
5. przecięcie prostych $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{AD}$
6. $\mathsf{x}+6=-4x+21$
7. punkt $\mathsf{A}$ leży na obu prostych, więc przyrównujemy ich prawe strony
8. $\mathsf{x}=3\to \mathsf{y}=9$
9. wyznaczony $\mathsf{x}$ wstawiamy do równania prostej $\mathsf{AB}$ i liczymy $\mathsf{y}$
10. $\mathsf{A}=\boxed{(3,9)}$
11. Krok 2. Wierzchołek $\mathsf{B}$
12. $\mathsf{K}$ jest środkiem $\mathsf{AB}$
13. $\mathsf{B}=2K-\mathsf{A}$
14. ze wzoru na środek odcinka $\mathsf{K}=\frac{\mathsf{A}+\mathsf{B}}{2}$ wynika $\mathsf{B}=2K-\mathsf{A}$
15. $\mathsf{B}=2\cdot (4,10)-(3,9)$
16. podwajamy współrzędne $\mathsf{K}$ i odejmujemy współrzędne $\mathsf{A}$
17. $\mathsf{B}=\boxed{(5,11)}$
18. Krok 3. Punkt $\mathsf{S}$
19. środek przekątnej $\mathsf{BD}$
20. $\mathsf{S}=\left(\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{B}}+{\mathsf{x}}_{\mathsf{D}}}{2},\frac{{\mathsf{y}}_{\mathsf{B}}+{\mathsf{y}}_{\mathsf{D}}}{2}\right)$
21. przekątne równoległoboku połowią się, więc $\mathsf{S}$ jest środkiem przekątnej $\mathsf{BD}$
22. $\mathsf{S}=\left(\frac{5+5}{2},\frac{11+1}{2}\right)$
23. sumujemy współrzędne końców przekątnej i dzielimy przez 2
24. $\mathsf{S}=\boxed{(5,6)}$

Najczęstsza pomyłka: przyjęcie, że $\mathsf{S}$ to środek boku $\mathsf{AB}$, czyli punkt $\mathsf{K}$. $\mathsf{S}$ jest środkiem przekątnej $\mathsf{BD}$ (i $\mathsf{AC}$), a nie boku.

Sprawdzenie: $\mathsf{S}$ jest również środkiem przekątnej $\mathsf{AC}$. Wyznaczając $\mathsf{C}=\mathsf{B}+\mathsf{D}-\mathsf{A}$ i licząc środek $\mathsf{AC}$, otrzymamy ten sam punkt.