Okrąg opisany na kwadracie po symetrii

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: środek i promień osobno, potem równanie

1. Symetria osiowa zachowuje odległości, więc kwadrat ${\mathsf{A}}^{\prime }{\mathsf{B}}^{\prime }{\mathsf{C}}^{\prime }{\mathsf{D}}^{\prime }$ ma taki sam promień okręgu opisanego jak $\mathsf{ABCD}$ - odbiciu podlega wyłącznie środek.
2. Krok 1. Dane
3. przekątna wyznacza cały okrąg
4. $\mathsf{A}=(5,-3)\mathsf{C}=(1,-5)\text{osˊ }\mathsf{Ox}$
5. Środek okręgu
6. to środek przekątnej
7. $\mathsf{S}=\left(\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{x}}_{\mathsf{C}}}{2},\frac{{\mathsf{y}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{y}}_{\mathsf{C}}}{2}\right)$
8. przekątne kwadratu przecinają się w środku okręgu opisanego
9. $\mathsf{S}=\left(\frac{6}{2},\frac{-8}{2}\right)=\boxed{(3,-4)}$
10. ${\mathsf{S}}^{\prime }=(3,4)$
11. odbicie względem osi Ox zmienia znak drugiej współrzędnej
12. Promień okręgu
13. symetria go nie zmienia
14. $|\mathsf{AC}{|}^2=({\mathsf{x}}_{\mathsf{C}}-{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}{)}^2+({\mathsf{y}}_{\mathsf{C}}-{\mathsf{y}}_{\mathsf{A}}{)}^2$
15. liczymy kwadrat długości przekątnej, bo sam promień bywa niewymierny
16. $|\mathsf{AC}{|}^2=(-4{)}^2+(-2{)}^2=20$
17. ${\mathsf{r}}^2=\frac{20}{4}=\boxed{5}$
18. promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej
19. Krok 2. Zapisz równanie
20. $(\mathsf{x}-\mathsf{a}{)}^2+(\mathsf{y}-\mathsf{b}{)}^2={\mathsf{r}}^2$
21. para $(\mathsf{a},\mathsf{b})$ to środek okręgu, a $\mathsf{r}$ jego promień
22. $(\mathsf{x}-(3){)}^2+(\mathsf{y}-(4){)}^2=5$
23. $\boxed{(\mathbf{x}-3{)}^2+(\mathbf{y}-4{)}^2=5}$

Najczęstsza pomyłka: podstawienie w miejsce ${\mathsf{r}}^2$ kwadratu całej przekątnej ($20$) zamiast jej połowy ($5$).