Okrąg o środku w punkcie podziału

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: symetralna, podział odcinka, równanie okręgu

1. Cała konstrukcja opiera się na jednej obserwacji: $|\mathsf{CA}|=|\mathsf{CB}|$ osadza $\mathsf{C}$ na symetralnej $\mathsf{AB}$, więc $\mathsf{C}$ jest przecięciem tej symetralnej z daną prostą ramienia. Środek okręgu $\mathsf{M}$ to punkt podziału $\mathsf{AC}$, a promień $\mathsf{r}=|\mathsf{MC}|$ stanowi $\frac{3}{5}$ długości $\mathsf{CA}$.
2. Krok 1. Dane i obserwacja
3. $|\mathsf{CA}|=|\mathsf{CB}|$, więc $\mathsf{C}$ leży na symetralnej odcinka $\mathsf{AB}$.
4. $\mathsf{A}=(0,-4),\mathsf{B}=(6,0)$
5. Dane prostej i podziału
6. $\text{ramię }\mathsf{CA}:5x-\mathsf{y}-4=0|\mathsf{AM}|:|\mathsf{MC}|=2:3$
7. Krok 2. Środek odcinka $\mathsf{AB}$
8. Symetralna przechodzi przez środek $\mathsf{S}$ odcinka $\mathsf{AB}$: $\mathsf{S}=\left(\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{x}}_{\mathsf{B}}}{2},\frac{{\mathsf{y}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{y}}_{\mathsf{B}}}{2}\right)$.
9. $\mathsf{S}=\left(\frac{0+6}{2},\frac{(-4)+0}{2}\right)$
10. sumujemy współrzędne $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ w liczniku
11. $\mathsf{S}=\left(\frac{6}{2},\frac{-4}{2}\right)$
12. dzielimy każdą sumę przez dwa
13. $\mathsf{S}=\boxed{(3,-2)}$
14. Krok 3. Wierzchołek $\mathsf{C}$
15. $\mathsf{C}$ to punkt wspólny prostej ramienia $\mathsf{CA}$ i symetralnej $\mathsf{AB}$ (prostej prostopadłej do $\mathsf{AB}$ przez $\mathsf{S}$).
16. $\text{symetralna }\mathsf{AB}:3x+2y-5=0$
17. kierunek $\mathsf{AB}$ jest wektorem normalnym symetralnej, która przechodzi przez $\mathsf{S}$
18. $\{\begin{array}{l}5x-y-4=0\\ 3x+2y-5=0\end{array}$
19. $\mathsf{C}$ spełnia oba równania - rozwiązujemy układ dwóch prostych
20. $\mathsf{C}=\boxed{(1,1)}$
21. Krok 4. Środek okręgu $\mathsf{M}$
22. $\mathsf{M}$ dzieli $\mathsf{AC}$ w stosunku $|\mathsf{AM}|:|\mathsf{MC}|=2:3$ od $\mathsf{A}$: $\mathsf{M}=\frac{3\cdot \mathsf{A}+2\cdot \mathsf{C}}{2+3}$.
23. $\mathsf{M}=\frac{3\cdot (0,-4)+2\cdot (1,1)}{5}$
24. waga $\mathsf{n}=3$ przy $\mathsf{A}$, waga $\mathsf{m}=2$ przy $\mathsf{C}$ - większa waga po stronie dalszego końca
25. $\mathsf{M}=\left(\frac{2}{5},\frac{-10}{5}\right)$
26. upraszczamy każdą współrzędną
27. $\mathsf{M}=\boxed{\left(\frac{2}{5},-2\right)}$
28. Krok 5. Promień i równanie okręgu
29. Promień $\mathsf{r}=|\mathsf{MC}|=\frac{3}{5}|\mathsf{CA}|$, bo $|\mathsf{MC}|$ to $\frac{3}{5}$ długości $\mathsf{CA}$. Wygodniej liczyć ${\mathsf{r}}^2$.
30. $|\mathsf{CA}{|}^2=1^2+5^2=26$
31. kwadrat odległości $\mathsf{A}$ i $\mathsf{C}$ ze wzoru na odległość punktów
32. ${\mathsf{r}}^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2\cdot 26=\boxed{\frac{234}{25}}$
33. kwadrat stosunku razy kwadrat długości ramienia
34. $\boxed{{\left(\mathbf{x}-\frac{2}{5}\right)}^2+{\left(\mathbf{y}+2\right)}^2=\frac{234}{25}}$

Najczęstsza pomyłka to odwrócenie wag przy podziale odcinka. Dla $|\mathsf{AM}|:|\mathsf{MC}|=2:3$ punkt $\mathsf{M}$ jest bliżej $\mathsf{A}$, więc $\mathsf{M}=\frac{3\cdot \mathsf{A}+2\cdot \mathsf{C}}{2+3}$ - większą wagę ma wierzchołek $\mathsf{C}$ (dalszy koniec). Zamiana wag daje inny punkt.<br><br>Druga pułapka: mylenie $\mathsf{r}$ z ${\mathsf{r}}^2$. Po prawej stronie równania okręgu stoi ${\mathsf{r}}^2=\frac{234}{25}$, a nie $\mathsf{r}$ ani $\sqrt{{\mathsf{r}}^2}$.

Wierzchołek $\mathsf{C}$ można też wyznaczyć bez symetralnej - podstawiając ogólny punkt prostej ramienia do warunku $|\mathsf{CA}|=|\mathsf{CB}|$. Metoda z symetralną jest jednak krótsza, bo od razu daje drugie równanie liniowe zamiast równania z kwadratami.