Okrąg w układzie współrzędnych: P/F (punkt, równanie, własności)

Rozwiązanie krok po kroku

Ze środka i promienia wyprowadź równanie oraz wszystkie miary okręgu

1. Ze środka $\mathsf{S}=(-5,3)$ i promienia $\mathsf{r}=20$ wynikają wszystkie pozostałe wielkości: ${\mathsf{r}}^2=400$ w równaniu, średnica $40$, pole $400\pi$, obwód $40\pi$ oraz cztery punkty skrajne odległe o $\mathsf{r}$ od środka. Położenie dowolnego punktu ustala porównanie jego odległości od $\mathsf{S}$ z promieniem.
2. Krok 1. Środek i promień
3. dane wprost w treści
4. $\mathsf{S}=(-5,3),\mathsf{r}=20$
5. kwadrat promienia stoi po prawej stronie równania okręgu, a podwojony promień to średnica
6. ${\mathsf{r}}^2=\boxed{400},2r=\boxed{40}$
7. Krok 2a. Równanie okręgu
8. postać kanoniczna i ogólna
9. $(\mathsf{x}-\mathsf{a}{)}^2+(\mathsf{y}-\mathsf{b}{)}^2={\mathsf{r}}^2$
10. w miejsce $\mathsf{a}$ i $\mathsf{b}$ wchodzą współrzędne środka, a po prawej stronie kwadrat promienia
11. $(\mathsf{x}+5{)}^2+(\mathsf{y}-3{)}^2=\boxed{400}$
12. po rozwinięciu obu kwadratów i przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę zostaje postać ogólna
13. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+10x-6y-366=0$
14. Krok 2b. Położenie punktu $\mathsf{A}$
15. $\mathsf{A}=(7,-13)$
16. $|\mathsf{SA}{|}^2=(7+5{)}^2+(-13-3{)}^2$
17. kwadrat odległości dwóch punktów to suma kwadratów różnic ich współrzędnych
18. $|\mathsf{SA}{|}^2={12}^2+(-16{)}^2$
19. kwadrat usuwa znak, więc kierunek przesunięcia od środka nie ma znaczenia
20. $|\mathsf{SA}{|}^2=144+256=\boxed{400}$
21. pierwiastkujemy, bo porównujemy odległość z promieniem, a nie jej kwadrat
22. $|\mathsf{SA}|=\sqrt{400}=20=\mathsf{r}\Rightarrow \boxed{A\in O}$
23. Krok 3. Miary okręgu
24. $\mathsf{P}=\pi {\mathsf{r}}^2=400\pi ,\mathsf{L}=2\pi \mathsf{r}=40\pi$
25. pole koła liczymy z kwadratu promienia, a obwód okręgu z promienia podwojonego
26. $(-5,23),(-5,-17)$
27. najwyższy i najniższy punkt powstają przez odłożenie promienia w pionie od środka
28. $(-25,3),(15,3)$
29. skrajny lewy i prawy punkt to końce średnicy poziomej, a proste $\mathsf{x}=-25$ i $\mathsf{x}=15$ są styczne do okręgu
30. $\mathsf{S}=(-5,3)\Rightarrow \text{cˊwiartka }\mathsf{II}$
31. Krok 4. Werdykty
32. $|3|<20\Rightarrow \text{brak stycznosˊci do }\mathsf{OX}$
33. styczność do osi zachodzi dokładnie wtedy, gdy odległość środka od niej równa jest promieniowi
34. $|-5|<20\Rightarrow \text{brak stycznosˊci do }\mathsf{OY}$
35. odległość środka od osi $\mathsf{OY}$ to wartość bezwzględna jego odciętej
36. $(-5{)}^2+3^2=34<400\Rightarrow \text{nie przechodzi przez }(0,0)$
37. początek układu leży na okręgu tylko przy równości kwadratu odległości od środka i kwadratu promienia
38. $\mathsf{B}=(2\cdot (-5)-7,2\cdot 3-(-13))=(-17,19)$
39. w symetrii względem środka punkt $\mathsf{S}$ jest środkiem odcinka $\mathsf{AB}$
40. $|\mathsf{SP}|=1<20,|\mathsf{SQ}|=21>20\Rightarrow \boxed{\mathbf{P}\text{ wewnątrz},\mathbf{Q}\text{ na zewnątrz}}$

Najczęstsze pomyłki: (1) wpisanie $\mathsf{r}$ zamiast ${\mathsf{r}}^2$ po prawej stronie równania kanonicznego; (2) mylenie promienia ze średnicą i wzoru na pole ze wzorem na obwód; (3) zapisanie środka bez zmiany znaku, czyli $(\mathsf{x}+\mathsf{a}{)}^2$ zamiast $(\mathsf{x}-\mathsf{a}{)}^2$ dla dodatniego $\mathsf{a}$.

Przy przechodzeniu do postaci ogólnej wyraz wolny to $\mathsf{F}={\mathsf{a}}^2+{\mathsf{b}}^2-{\mathsf{r}}^2$, a więc ${\mathsf{r}}^2$ wchodzi ze znakiem minus. Zapis z $+{\mathsf{r}}^2$ opisuje inny okrąg albo zbiór pusty.