Okrąg a osie układu

Rozwiązanie krok po kroku

Odczytaj środek i promień → porównaj odległości od osi z promieniem

1. Klucz: odczytaj $\mathsf{S}=(\mathsf{a},\mathsf{b})$ i $\mathsf{r}$, potem porównaj odległości środka od osi ($|\mathsf{b}|$ od $\mathsf{Ox}$, $|\mathsf{a}|$ od $\mathsf{Oy}$) z promieniem $\mathsf{r}$. Mniejsza → oś przecina okrąg, równa → styczność, większa → brak wspólnych punktów. Punkt $(0,0)$ jest wewnątrz, gdy ${\mathsf{a}}^2+{\mathsf{b}}^2<{\mathsf{r}}^2$.
2. Krok 1. Odczytaj środek i promień
3. z postaci $(\mathsf{x}-\mathsf{a}{)}^2+(\mathsf{y}-\mathsf{b}{)}^2={\mathsf{r}}^2$
4. $(\mathsf{x}+2{)}^2+(\mathsf{y}-4{)}^2=9$
5. środek to liczby odejmowane od $\mathsf{x}$ i $\mathsf{y}$, a po prawej stoi ${\mathsf{r}}^2$
6. $\mathsf{S}=(-2,4),\mathsf{r}=\boxed{3}$
7. Krok 2a. Oś $\mathsf{Ox}$
8. odległość środka od $\mathsf{Ox}$ to $|\mathsf{b}|$
9. $\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{Ox})=|4|=4$
10. odległość środka od osi $\mathsf{Ox}$ równa jest wartości bezwzględnej rzędnej środka
11. $4>3$
12. odległość środka od osi Ox jest większa od promienia - oś przebiega poza okręgiem
13. $\boxed{\text{brak punktoˊw wspoˊlnych}}$
14. Krok 2b. Oś $\mathsf{Oy}$
15. odległość środka od $\mathsf{Oy}$ to $|\mathsf{a}|$
16. $\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{Oy})=|-2|=2$
17. odległość środka od osi $\mathsf{Oy}$ równa jest wartości bezwzględnej odciętej środka
18. $2<3$
19. odległość środka od osi Oy jest mniejsza od promienia - oś przecina okrąg w dwóch punktach
20. $\boxed{\text{2 punkty wspoˊlne}}$
21. Krok 3. Ocena stwierdzeń
22. $\text{osˊ }\mathsf{Ox}:\boxed{\text{brak punktoˊw wspoˊlnych}}$
23. porównanie odległości środka od $\mathsf{Ox}$ z promieniem
24. $\text{osˊ }\mathsf{Oy}:\boxed{\text{2 punkty wspoˊlne}}$
25. porównanie odległości środka od $\mathsf{Oy}$ z promieniem
26. $\text{punkt }(0,0):\boxed{\text{na zewnątrz}}$
27. kwadrat odległości $(0,0)$ od środka to ${\mathsf{a}}^2+{\mathsf{b}}^2$; porównujemy go z ${\mathsf{r}}^2$
28. $\text{odcięta }\text{ujemna},\text{rzędna }\text{dodatnia}$
29. znak współrzędnych środka odczytujemy wprost z pary $\mathsf{S}=(-2,4)$
30. $\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{Ox})=4,\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{Oy})=2,\mathsf{r}=\boxed{3}$
31. odległości od osi i promień - gotowe do oceny stwierdzeń o odległościach, styczności i długości promienia

Najczęstsze pomyłki: (1) mylenie osi - odległość od $\mathsf{Ox}$ to $|\mathsf{b}|$ (rzędna), a nie $|\mathsf{a}|$; (2) porównywanie samego ${\mathsf{r}}^2$ z $|\mathsf{a}|$ zamiast $\mathsf{r}$ z $|\mathsf{a}|$ (albo ${\mathsf{a}}^2$ z ${\mathsf{r}}^2$); (3) mylenie znaku odciętej/rzędnej środka przez pomyłkę w postaci $(\mathsf{x}-\mathsf{a})$ - liczba odejmowana ma znak przeciwny do tej w nawiasie.

Styczność do osi ($1$ punkt wspólny) zachodzi dokładnie wtedy, gdy odległość środka od tej osi równa jest promieniowi: $|\mathsf{b}|=\mathsf{r}$ dla $\mathsf{Ox}$, $|\mathsf{a}|=\mathsf{r}$ dla $\mathsf{Oy}$. Gdy w zadaniu ta równość nie zachodzi, stwierdzenie o styczności jest fałszywe.