Wyznacz wierzchołek z prostych

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: $\mathsf{B}\to \mathsf{D}\to \mathsf{CD}\to \mathsf{C}$

1. Dane zadania
2. $\mathsf{S}=(1,1)$ to punkt przecięcia przekątnych
3. $\mathsf{BC}:\mathsf{x}+3y+12=0,\mathsf{AB}:3x+\mathsf{y}+12=0$
4. sprowadzamy oba równania do postaci kierunkowej, żeby od razu widzieć współczynniki kierunkowe
5. $\mathsf{BC}:\mathsf{y}=-\frac{1}{3}\mathsf{x}-4,\mathsf{AB}:\mathsf{y}=-3x-12$
6. Krok 1. Wierzchołek $\mathsf{B}$
7. przecięcie prostych $\mathsf{BC}$ i $\mathsf{AB}$
8. $-\frac{1}{3}\mathsf{x}-4=-3x-12$
9. wierzchołek $\mathsf{B}$ leży na obu prostych, więc przyrównujemy prawe strony ich równań
10. $\frac{8}{3}\mathsf{x}=-8$
11. z tego równania wyznaczamy $\mathsf{x}$, a $\mathsf{y}$ liczymy z równania prostej $\mathsf{BC}$
12. $\mathsf{B}=\boxed{(-3,-3)}$
13. Krok 2. Wierzchołek $\mathsf{D}$
14. $\mathsf{S}$ jest środkiem przekątnej $\mathsf{BD}$
15. $\mathsf{D}=2S-\mathsf{B}$
16. przekątne równoległoboku połowią się, więc ze wzoru $\mathsf{S}=\frac{\mathsf{B}+\mathsf{D}}{2}$ wynika $\mathsf{D}=2S-\mathsf{B}$
17. $\mathsf{D}=\left(2\cdot 1-(-3),2\cdot 1-(-3)\right)$
18. podwajamy współrzędne $\mathsf{S}$ i odejmujemy współrzędne $\mathsf{B}$
19. $\mathsf{D}=\boxed{(5,5)}$
20. Krok 3. Prosta $\mathsf{CD}$
21. $\mathsf{CD}\parallel \mathsf{AB}$, przechodzi przez $\mathsf{D}$
22. $\mathsf{y}=-3x+\mathsf{b}$
23. przeciwległe boki równoległoboku są równoległe, więc prosta $\mathsf{CD}$ ma ten sam współczynnik kierunkowy co $\mathsf{AB}$
24. $5=-3\cdot 5+\mathsf{b}$
25. współrzędne $\mathsf{D}$ spełniają równanie prostej, z tego liczymy wyraz wolny
26. $\mathsf{b}=20$
27. wyraz wolny wpisujemy do postaci kierunkowej
28. $\mathsf{CD}:\boxed{y=-3x+20}$
29. Krok 4. Wierzchołek $\mathsf{C}$
30. przecięcie prostych $\mathsf{BC}$ i $\mathsf{CD}$
31. $-\frac{1}{3}\mathsf{x}-4=-3x+20$
32. wierzchołek $\mathsf{C}$ leży na boku $\mathsf{BC}$ i na boku $\mathsf{CD}$, więc przyrównujemy prawe strony obu równań
33. $\frac{8}{3}\mathsf{x}=24$
34. z tego równania wyznaczamy $\mathsf{x}$, a $\mathsf{y}$ liczymy z równania prostej $\mathsf{BC}$
35. $\mathsf{C}=\boxed{(9,-7)}$

Najczęstsza pomyłka: prowadzenie prostej przez $\mathsf{D}$ równoległej do boku $\mathsf{BC}$. Bok $\mathsf{CD}$ leży naprzeciw boku $\mathsf{AB}$, więc to z nim ma wspólny współczynnik kierunkowy.

Sprawdzenie: czwarty wierzchołek $2S-\mathsf{C}=(-7,9)$ musi leżeć na prostej $\mathsf{AB}$: $\mathsf{y}=-3x-12$.