Wyznacz wierzchołki kwadratu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przekątne i okrąg opisany na kwadracie

1. Krok 1. Środek i promień okręgu
2. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2-2x-10y-6=0$
3. grupujemy wyrazy z x i z y, każdą grupę uzupełniamy do pełnego kwadratu, a stałe przenosimy na prawą stronę
4. $(\mathsf{x}-1{)}^2+(\mathsf{y}-5{)}^2=32$
5. środek to liczby z nawiasów ze zmienionym znakiem, prawa strona to kwadrat promienia
6. $\mathsf{S}=\boxed{(1;5)},{\mathsf{r}}^2=\boxed{32}$
7. Krok 2. Wierzchołek C
8. $\mathsf{S}=\left(\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{x}}_{\mathsf{C}}}{2};\frac{{\mathsf{y}}_{\mathsf{A}}+{\mathsf{y}}_{\mathsf{C}}}{2}\right),\mathsf{A}=(-3;1)$
9. środek okręgu jest środkiem kwadratu, a więc środkiem przekątnej AC
10. $\mathsf{C}=\boxed{(5;9)}$
11. Krok 3. Prosta BD
12. $\overrightarrow{\mathsf{SA}}=[-4;-4]$
13. przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w środku S, więc BD przechodzi przez S prostopadle do wektora SA
14. $\mathsf{BD}:\boxed{y=-x+6}$
15. Krok 4. Okrąg opisany na kwadracie
16. ${\mathsf{R}}^2=|\mathsf{SA}{|}^2=(-4{)}^2+(-4{)}^2$
17. wszystkie wierzchołki kwadratu leżą w odległości połowy przekątnej od środka S
18. $(\mathsf{x}-1{)}^2+(\mathsf{y}-5{)}^2=\boxed{32}$
19. Krok 5. Wierzchołki B i D
20. $\vec{\mathsf{v}}=[4;-4]$
21. zamiana współrzędnych wektora SA ze zmianą znaku pierwszej daje wektor prostopadły tej samej długości, czyli kierunek prostej BD
22. $\mathsf{B},\mathsf{D}=\mathsf{S}\pm \vec{\mathsf{v}}=(1;5)\pm [4;-4]$
23. punkty prostej BD odległe od S o R to punkty wspólne prostej BD i okręgu opisanego, czyli końce drugiej przekątnej
24. $\boxed{\mathbf{B}(5;1),\mathbf{C}(5;9),\mathbf{D}(-3;9)}$

Pomylenie okręgu wpisanego z opisanym. Okrąg wpisany w kwadrat ma promień równy połowie boku, a okrąg opisany połowie przekątnej, więc $\mathsf{R}=\mathsf{r}\sqrt{2}$. Wierzchołki leżą na okręgu opisanym; szukanie ich na okręgu wpisanym daje punkty w złej odległości od $\mathsf{S}$.