Oblicz trójkę geometryczną

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek geometryczny jako równanie z niewiadomą $\mathsf{r}$

1. Wyraz środkowy
2. ${\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_3=2{\mathsf{a}}_2=-2$
3. indeksy 1 oraz 3 leżą symetrycznie wokół 2, więc ich suma to podwojony wyraz środkowy
4. ${\mathsf{a}}_2=\boxed{-1}$
5. Wyrazy skrajne przez różnicę
6. ${\mathsf{a}}_3=-1+\mathsf{r},{\mathsf{a}}_1=-1-\mathsf{r}$
7. Warunek ciągu geometrycznego
8. kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych
9. $(-1-4{)}^2=((-1+\mathsf{r})+7)\cdot (-\frac{1}{2})(-1-\mathsf{r})$
10. liczymy wyraz środkowy i porządkujemy pierwszy nawias
11. $25=(6+\mathsf{r})\cdot (-\frac{1}{2})(-1-\mathsf{r})$
12. mnożymy obie strony przez odwrotność ułamka stojącego przy wyrazie skrajnym
13. $-50=(6+\mathsf{r})(-1-\mathsf{r})$
14. $-50=-6-7r-{\mathsf{r}}^2$
15. $\boxed{r^2+7r-44=0}$
16. Różnica ciągu arytmetycznego
17. $\mathsf{\Delta }=(7{)}^2-4\cdot 1\cdot (-44)=\boxed{225}$
18. $\mathsf{r}=\frac{-7\pm 15}{2}=4\text{lub}-11$
19. ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc jego różnica jest dodatnia, drugi pierwiastek odrzucamy
20. $\mathsf{r}=\boxed{4}$
21. Wyrazy ciągu geometrycznego
22. ${\mathsf{a}}_3=-1+(4)=\boxed{3},{\mathsf{a}}_1=-1-(4)=\boxed{-5}$
23. wstawiamy obliczone wyrazy ciągu arytmetycznego do trójki
24. $(3)+7=\boxed{10},-1-4=\boxed{-5},-\frac{1}{2}\cdot (-5)=\boxed{\frac{5}{2}}$
25. $\boxed{10,-5,\frac{5}{2}}$