Wyraz ciągu geometrycznego

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyznacz iloraz, potem wyraz

1. Z ${\mathsf{q}}^2=\frac{4}{9}$ wynikają dwa ciągi: z $\mathsf{q}=\frac{2}{3}$ i z $\mathsf{q}=-\frac{2}{3}$. Oba dają ten sam wyraz ${\mathsf{a}}_5$, bo od ${\mathsf{a}}_3$ mnożymy przez $\mathsf{q}$ parzystą liczbę razy. Pytanie o wyraz o jeden krok dalej miałoby dwie odpowiedzi.
2. Krok 1. Dane
3. Wyrazy ${\mathsf{a}}_1$ i ${\mathsf{a}}_3$ dzielą 2 kroki - ich iloraz to ${\mathsf{q}}^2$.
4. ${\mathsf{a}}_1=27,{\mathsf{a}}_3=12$
5. Krok 2. Wyznacz ${\mathsf{q}}^2$
6. Dzieląc wyrazy oddalone o 2 dostajemy ${\mathsf{q}}^2$. Sam znak $\mathsf{q}$ zostaje nieznany: $\mathsf{q}=\pm \frac{2}{3}$.
7. $\frac{{\mathsf{a}}_3}{{\mathsf{a}}_1}={\mathsf{q}}^2\Rightarrow {\mathsf{q}}^2=\frac{12}{27}$
8. stosunek wyrazów oddalonych o 2 równa się kwadratowi ilorazu
9. ${\mathsf{q}}^2=\boxed{\frac{4}{9}}$
10. Krok 3. Oblicz szukany wyraz ${\mathsf{a}}_5$
11. Od ${\mathsf{a}}_3$ do ${\mathsf{a}}_5$ są 2 kroki, czyli mnożymy przez ${\mathsf{q}}^2$. Znak $\mathsf{q}$ nie ma znaczenia: kwadrat go zjada.
12. ${\mathsf{a}}_5={\mathsf{a}}_3\cdot {\mathsf{q}}^2=12\cdot \frac{4}{9}$
13. ${\mathsf{q}}^2$ znamy już z kroku 2, nie trzeba wyciągać pierwiastka
14. ${\mathsf{a}}_5=\boxed{\frac{16}{3}}$

Najczęstszy błąd: potraktowanie ciągu jak <strong>arytmetycznego</strong> - liczenie różnicy ${\mathsf{a}}_3-{\mathsf{a}}_1$ zamiast ilorazu $\frac{{\mathsf{a}}_3}{{\mathsf{a}}_1}$.<br><br>Drugi błąd: pomylenie liczby kroków - od ${\mathsf{a}}_3$ do ${\mathsf{a}}_5$ mnożymy przez $\mathsf{q}$ dokładnie $2$ raz(y) (czyli ${\mathsf{q}}^2$), a nie $5$ razy.