Iloczyn wyrazow ciagu geometrycznego

Rozwiązanie krok po kroku

Klucz: pary równoodległe od środka

1. Iloraz $\mathsf{q}$ nie wpływa na wynik - przy mnożeniu wszystkich wyrazów potęgi $\mathsf{q}$ znoszą się symetrycznie.
2. Krok 1. Wyznacz środek
3. ${\mathsf{a}}_3\cdot {\mathsf{a}}_5={\mathsf{a}}_4^2=2^4$
4. wyrazy równoodległe od środka mają iloczyn równy ${\mathsf{a}}_4^2$; znak bierzemy z warunku
5. ${\mathsf{a}}_4=2^2$
6. Krok 2. Grupuj w pary
7. $\mathsf{P}=({\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{a}}_7)\cdot \dots \cdot {\mathsf{a}}_4$
8. łączymy 3 pary równoodległych od środka, każda ma iloczyn ${\mathsf{a}}_4^2$
9. $\mathsf{P}=({\mathsf{a}}_4^2{)}^3\cdot {\mathsf{a}}_4$
10. Krok 3. Środek do potęgi 7
11. $\mathsf{P}=({\mathsf{a}}_4^2{)}^3\cdot {\mathsf{a}}_4={\mathsf{a}}_4^7$
12. sumujemy wykładniki: iloczyn wszystkich wyrazów to wyraz środkowy w potędze 7
13. $\mathsf{P}={\left(2^2\right)}^7$
14. wstawiamy wartość wyrazu środkowego
15. $\mathsf{P}=\boxed{16384}$

Reguła działa dla każdej nieparzystej liczby wyrazów: iloczyn $2k+1$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego równa się wyrazowi środkowemu podniesionemu do potęgi $2k+1$.