Ciag geo-aryt-geo po modyfikacjach

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: układ równań i trójmian kwadratowy

1. Krok 1. Trzy warunki, trzy równania
2. $(\mathsf{x},\mathsf{y},\mathsf{z})$ geometryczny $\Rightarrow$ kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych
3. ${\mathsf{y}}^2=\mathsf{xz}(1)$
4. po pomniejszeniu trzeciego wyrazu o 4 ciąg jest arytmetyczny - środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych
5. $2y=\mathsf{x}+\mathsf{z}-4(2)$
6. ciąg $\left(\mathsf{x},\mathsf{y}-1,\mathsf{z}-4-1\right)$ jest geometryczny - kwadrat środkowego równa się iloczynowi skrajnych
7. ${\left(\mathsf{y}-1\right)}^2=\mathsf{x}\left(\mathsf{z}-4-1\right)(3)$
8. Krok 2. Wyznacz x i z przez y
9. ${\left(\mathsf{y}-1\right)}^2=\mathsf{x}\left(\mathsf{z}-4-1\right)$
10. rozwijamy kwadrat po lewej stronie i wymnażamy nawias po prawej
11. ${\mathsf{y}}^2-2\mathsf{y}+1=\mathsf{xz}-5\mathsf{x}$
12. z równania (1) podstawiamy $\mathsf{xz}={\mathsf{y}}^2$ - wyrazy ${\mathsf{y}}^2$ po obu stronach się redukują
13. $-2\mathsf{y}+1=-5\mathsf{x}$
14. dzielimy obie strony przez współczynnik przy $\mathsf{x}$ i upraszczamy ułamek
15. $\mathsf{x}=\boxed{\frac{2y-1}{5}}$
16. z równania (2) mamy $\mathsf{z}=2y+4-\mathsf{x}$ - podstawiamy wyznaczone $\mathsf{x}$
17. $\mathsf{z}=\boxed{\frac{8y+21}{5}}$
18. Krok 3. Równanie kwadratowe
19. ${\mathsf{y}}^2=\left(\frac{2y-1}{5}\right)\cdot \left(\frac{8y+21}{5}\right)$
20. podstawiamy $\mathsf{x}$ i $\mathsf{z}$ do równania (1) i mnożymy obie strony przez iloczyn mianowników
21. $25{\mathsf{y}}^2=\left(2y-1\right)\left(8y+21\right)$
22. wymnażamy nawiasy, przenosimy wszystko na jedną stronę i skracamy przez wspólny dzielnik
23. $9{\mathsf{y}}^2-34\mathsf{y}+21=0$
24. obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego
25. $\mathsf{\Delta }=34^2-4\cdot 9\cdot 21=400,\sqrt{\mathsf{\Delta }}=20$
26. stosujemy wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego
27. $\mathsf{y}=\frac{34\pm 20}{18}$
28. otrzymujemy dwa rozwiązania - każde z nich prowadzi do poprawnej trójki
29. $\mathsf{y}=\boxed{3}\text{lub}\mathsf{y}=\boxed{\frac{7}{9}}$
30. Pierwsza trójka
31. $\mathsf{y}=3$
32. $\mathsf{x}=1,\mathsf{z}=9$
33. podstawiamy tę wartość $\mathsf{y}$ do wzorów na $\mathsf{x}$ i $\mathsf{z}$ z kroku 2
34. $\boxed{\left(1,3,9\right)}$
35. Druga trójka
36. $\mathsf{y}=\frac{7}{9}$
37. $\mathsf{x}=\frac{1}{9},\mathsf{z}=\frac{49}{9}$
38. podstawiamy tę wartość $\mathsf{y}$ do wzorów na $\mathsf{x}$ i $\mathsf{z}$ z kroku 2
39. $\boxed{\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)}$
40. Odpowiedź
41. $\boxed{\left(1,3,9\right)\text{oraz}\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)}$

Najczęstsza pomyłka: zatrzymanie się po znalezieniu pierwszej trójki. Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki i oba prowadzą do trójek spełniających wszystkie warunki zadania - odpowiedź musi zawierać obie.