Aryt w geom: oblicz indeks

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: oblicz wyrazy, znajdź iloraz, wyznacz indeks

1. Schemat: wyrazy ze wzoru → iloraz $\mathsf{q}=\frac{{\mathsf{a}}_{\mathsf{p}}}{{\mathsf{a}}_{\mathsf{m}}}$ → kolejny wyraz ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}=(\text{poprzedni})\cdot \mathsf{q}$ → indeks $\mathsf{k}$ z równania ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}={\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$. Iloraz wyznacza się z dwóch sąsiednich wyrazów, bo ciąg jest geometryczny.
2. Krok 1. Dane
3. ciąg $({\mathsf{a}}_2,{\mathsf{a}}_{13},{\mathsf{a}}_{35},{\mathsf{a}}_{\mathsf{k}})$ jest geometryczny, więc iloraz sąsiednich wyrazów jest stały
4. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=-3n-27$
5. Krok 2. Oblicz znane wyrazy
6. podstawiamy indeksy do wzoru ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=-3n-27$
7. ${\mathsf{a}}_2=-3\cdot 2-27$
8. pierwszy wyraz ciągu geometrycznego
9. ${\mathsf{a}}_2=\boxed{-33},{\mathsf{a}}_{13}=\boxed{-66}$
10. Krok 3. Iloraz ciągu
11. w ciągu geometrycznym iloraz to $\mathsf{q}=\frac{{\mathsf{a}}_{13}}{{\mathsf{a}}_2}$
12. $\mathsf{q}=\frac{{\mathsf{a}}_{13}}{{\mathsf{a}}_2}=\frac{-66}{-33}$
13. iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
14. $\mathsf{q}=\boxed{2}$
15. Krok 4. Kolejny wyraz ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$
16. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$ to następny wyraz geometryczny: poprzedni $\cdot \mathsf{q}$
17. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}={\mathsf{a}}_{35}\cdot \mathsf{q}=-132\cdot 2$
18. kolejny wyraz ciągu geometrycznego to poprzedni razy iloraz
19. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}=\boxed{-264}$

Liczenie ilorazu jako różnicy ${\mathsf{a}}_{13}-{\mathsf{a}}_2$ (jak w ciągu arytmetycznym). W ciągu geometrycznym iloraz to $\mathsf{q}=\frac{{\mathsf{a}}_{13}}{{\mathsf{a}}_2}$, czyli dzielenie, nie odejmowanie.

Wyrazy ciągu geometrycznego biorą wartości z arytmetycznego ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}$, ale ich indeksy ($2,13,79$) rosną geometrycznie. Indeks $\mathsf{k}$ znajdujemy rozwiązując ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}={\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$ względem $\mathsf{n}$.