Wyznacz ciąg z sumy podciągu

Rozwiązanie krok po kroku

Iloraz z warunku, potem pierwszy wyraz z sumy

1. Krok 1. Iloraz $\mathsf{q}$
2. ${\mathsf{a}}_1\cdot \mathsf{q}+{\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{q}}^3=\frac{5}{2}\cdot {\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{q}}^2$
3. Suma podciągu jest różna od zera, więc ${\mathsf{a}}_1\ne 0$ i $\mathsf{q}\ne 0$; dzielimy obie strony przez ${\mathsf{a}}_2$.
4. $1+{\mathsf{q}}^2=\frac{5}{2}\cdot \mathsf{q}$
5. Mnożymy przez mianownik i porządkujemy, żeby dostać równanie kwadratowe o całkowitych współczynnikach.
6. $2{\mathsf{q}}^2-5q+2=0$
7. Pierwiastki liczymy ze wzorów na rozwiązania równania kwadratowego.
8. $\mathsf{q}=\frac{1}{2}\vee \mathsf{q}=2$
9. Szereg ${\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_3+{\mathsf{a}}_5+\dots$ ma iloraz ${\mathsf{q}}^2$ i jest zbieżny tylko dla $|{\mathsf{q}}^2|<1$, czyli $|\mathsf{q}|<1$. Odrzucamy $\mathsf{q}=2$.
10. $\mathsf{q}=\boxed{\frac{1}{2}}$
11. Krok 2. Pierwszy wyraz z sumy
12. $\frac{{\mathsf{a}}_1}{1-{\mathsf{q}}^2}=20$
13. Wyrazy ${\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_3+{\mathsf{a}}_5+\dots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie ${\mathsf{a}}_1$ i ilorazie ${\mathsf{q}}^2$, więc ich suma to $\frac{{\mathsf{a}}_1}{1-{\mathsf{q}}^2}$.
14. $\frac{{\mathsf{a}}_1}{\frac{3}{4}}=20$
15. Mnożymy obie strony przez mianownik.
16. ${\mathsf{a}}_1=\boxed{15}$
17. Krok 3. Wzór ogólny
18. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}={\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{q}}^{\mathsf{n}-1}=\boxed{15\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathbf{n}-1}}$