Oblicz sumę szeregu z warunku

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: różnica z równania kwadratowego

1. Dane
2. ${\mathsf{a}}_9=32,{\mathsf{a}}_{13}={\mathsf{a}}_5\cdot \left({\mathsf{a}}_{10}-24\right)$
3. Warunek jako równanie
4. ${\mathsf{a}}_5=32-4r,{\mathsf{a}}_{13}=32+4r,{\mathsf{a}}_{10}=32+\mathsf{r}$
5. każdy wyraz zapisujemy względem znanego ${\mathsf{a}}_9$
6. $32+4r=\left(32-4r\right)\left(32+\mathsf{r}-24\right)$
7. $\boxed{r^2+r-56=0}$
8. Różnica ciągu
9. $\mathsf{\Delta }=(1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-56)=\boxed{225}$
10. $\mathsf{r}=\frac{-1\pm 15}{2}=\boxed{7}\text{lub}\mathsf{r}=-8$
11. ciąg $({\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$ jest rosnący, więc ujemna różnica odpada
12. Ciąg $({\mathsf{b}}_{\mathsf{n}})$
13. ${\mathsf{a}}_5=32-4\cdot 7=\boxed{4}$
14. cofamy się od ${\mathsf{a}}_9$ do ${\mathsf{a}}_5$
15. ${\mathsf{b}}_1={\mathsf{a}}_{10}=4+5\cdot 7=\boxed{39}$
16. ${\mathsf{b}}_2={\mathsf{a}}_7=4+2\cdot 7=\boxed{18}$
17. $\mathsf{q}=\frac{18}{39}=\boxed{\frac{6}{13}}$
18. Suma szeregu
19. $\mathsf{S}=\frac{{\mathsf{b}}_1}{1-\mathsf{q}}=\frac{39}{1-\frac{6}{13}}$
20. szereg jest zbieżny, więc suma wszystkich wyrazów istnieje
21. $\mathsf{S}=\boxed{\frac{507}{7}}$

Podstawienie ilorazu do wzoru $\frac{{\mathsf{b}}_1}{1+\mathsf{q}}$ zamiast $\frac{{\mathsf{b}}_1}{1-\mathsf{q}}$.