Oblicz sumę z pary wyrazów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasycznie: układ równań metodą podstawiania

1. Równanie z kroku 3 daje obie wartości wyrazu ${\mathsf{a}}_1$, ale tylko jedno przypisanie spełnia założenie z treści, że ciąg jest zbieżny - dlatego dalej liczymy wyłącznie z ilorazem $\mathsf{q}=\pm \frac{5}{6}$.
2. Krok 1. Zapisz dane jako układ równań
3. Niewiadome to oba wyrazy ${\mathsf{a}}_1$ i ${\mathsf{a}}_3$
4. $\{\begin{array}{l}{a}_1+a_3=-488\\ \left|a_1-a_3\right|=88\end{array}$
5. Krok 2. Podstaw jeden wyraz za drugi
6. Metoda podstawiania w układzie równań
7. ${\mathsf{a}}_3=-488-{\mathsf{a}}_1$
8. Z równania z sumą wyznaczamy drugi wyraz i wstawiamy go do równania z wartością bezwzględną.
9. $\left|{\mathsf{a}}_1-\left(-488-{\mathsf{a}}_1\right)\right|=88$
10. Pod wartością bezwzględną zostaje jedna niewiadoma - oba ${\mathsf{a}}_1$ dodają się do siebie.
11. $\left|2{\mathsf{a}}_1+488\right|=88$
12. Wartość bezwzględna rozbija równanie na dwa przypadki - żadnego z nich nie wolno pominąć.
13. $2{\mathsf{a}}_1+488=88\text{lub}2{\mathsf{a}}_1+488=-88$
14. Krok 3. Rozwiąż oba przypadki
15. $2{\mathsf{a}}_1+488=88\text{lub}2{\mathsf{a}}_1+488=-88$
16. W obu przypadkach przenosimy liczbę na prawą stronę.
17. $2{\mathsf{a}}_1=-400\text{lub}2{\mathsf{a}}_1=-576$
18. Dzielimy obie strony przez dwa - dostajemy oba wyrazy z treści zadania.
19. ${\mathsf{a}}_1=\boxed{-200}\text{lub}{\mathsf{a}}_1=\boxed{-288}$
20. Krok 4. Wybierz przypisanie dające ciąg zbieżny
21. ${\mathsf{a}}_1=-288,{\mathsf{a}}_3=-200$
22. Do każdej wartości ${\mathsf{a}}_1$ drugi wyraz dopisujemy z pierwszego równania. Ciąg jest zbieżny tylko przy $|\mathsf{q}|<1$, więc zostaje to przypisanie, w którym dalszy wyraz jest bliższy zeru - odwrotne dawałoby $|\mathsf{q}|\ge 1$.
23. ${\mathsf{q}}^2=\frac{{\mathsf{a}}_3}{{\mathsf{a}}_1}=\frac{-200}{-288}=\frac{25}{36}$
24. Iloraz podniesiony do potęgi $3-1$ daje stosunek obu wyrazów. Wykładnik jest parzysty, więc pierwiastek daje dwie wartości - dodatnią i ujemną - i obie spełniają warunek zbieżności.
25. $\mathsf{q}=\boxed{\frac{5}{6}}\text{lub}\mathsf{q}=\boxed{-\frac{5}{6}}$
26. Krok 5. Oblicz sumę szeregu
27. $\mathsf{S}=\frac{{\mathsf{a}}_1}{1-\mathsf{q}}$
28. Każdemu znakowi ilorazu odpowiada osobna suma szeregu zbieżnego.
29. $\boxed{\mathbf{S}=-1728\text{lub}\mathbf{S}=-\frac{1728}{11}}$

Krócej: suma i iloczyn wyrazów (wzory Viète'a)

1. Ten sposób omija podstawianie: z danych liczymy od razu sumę i iloczyn pary wyrazów, a same wyrazy odczytujemy jako pierwiastki równania kwadratowego. Rachunki są krótsze, ale trzeba pamiętać wzory Viète'a.
2. Krok 1. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
3. Wyprowadzenie wzoru raz, dla dowolnych $\mathsf{x}$ i $\mathsf{y}$
4. ${\left(\mathsf{x}+\mathsf{y}\right)}^2={\mathsf{x}}^2+2xy+{\mathsf{y}}^2,{\left(\mathsf{x}-\mathsf{y}\right)}^2={\mathsf{x}}^2-2xy+{\mathsf{y}}^2$
5. Oba kwadraty różnią się tylko znakiem przy podwojonym iloczynie, więc po odjęciu kwadraty pojedynczych liczb znikają.
6. ${\mathsf{S}}^2-{\mathsf{D}}^2=4P$
7. Krok 2. Wyznacz iloczyn wyrazów
8. ${\mathsf{S}}^2-{\mathsf{D}}^2=4P$
9. Podstawiamy sumę wyrazów oraz daną różnicę. Podniesienie do kwadratu kasuje wartość bezwzględną, więc znak różnicy nie ma tu znaczenia.
10. ${\left(-488\right)}^2-88^2=4P$
11. Liczymy oba kwadraty i wykonujemy odejmowanie.
12. $230400=4P$
13. Po prawej został poczwórny iloczyn - dzielimy przez cztery.
14. $\mathsf{P}=\frac{230400}{4}=\boxed{57600}$
15. Krok 3. Odczytaj wyrazy i policz szukaną wielkość
16. Suma i iloczyn pary są już znane
17. ${\mathsf{t}}^2+488t+57600=0$
18. Liczby o sumie $\mathsf{S}$ i iloczynie $\mathsf{P}$ są pierwiastkami równania ${\mathsf{t}}^2-\mathsf{St}+\mathsf{P}=0$ - nie wiadomo tylko, który pierwiastek jest którym wyrazem.
19. $\mathsf{t}=-288\text{lub}\mathsf{t}=-200$
20. Wybieramy przypisanie dające ciąg zbieżny: ${\mathsf{a}}_1=-288$ oraz ${\mathsf{a}}_3=-200$. Odwrotne dałoby $|\mathsf{q}|\ge 1$, czyli ciąg rozbieżny.
21. $\mathsf{q}=\frac{5}{6}\text{lub}\mathsf{q}=-\frac{5}{6}$
22. Oba ilorazy pasują do danych, bo indeksy wyrazów są nieparzyste - znak $\mathsf{q}$ nie wpływa na ich wartości.
23. $\boxed{\mathbf{S}=-1728\text{lub}\mathbf{S}=-\frac{1728}{11}}$

Podanie tylko JEDNEJ wartości końcowej zamiast obu (dla $\mathsf{q}$ dodatniego i ujemnego) - polecenie „Rozważ wszystkie przypadki” wymaga obu, gdy wynik zależy od znaku $\mathsf{q}$. Równie częsty błąd: brak odrzucenia przypisania wyrazów dającego $|\mathsf{q}|\ge 1$ (wtedy ciąg byłby rozbieżny, co przeczy założeniu z treści).

Dla sumy kwadratów, sumy wyrazów nieparzystych oraz - gdy pytany wyraz ma indeks nieparzysty - obie wartości ilorazu $\mathsf{q}$ dają TEN SAM wynik, bo $\mathsf{q}$ występuje tam w parzystej potędze. Odpowiedź jest wtedy jedna, mimo dwóch możliwych ilorazów.