Warunek ciągu arytmetycznego z parametrem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: policz ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$, potem użyj warunku ciągu arytmetycznego

1. Warunek arytmetyczny $2{\mathsf{a}}_2={\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_3$ zapisujemy dopiero po policzeniu ${\mathsf{a}}_3$ - to ${\mathsf{a}}_1$ w trójce. Równanie ${\mathsf{x}}^2=1$ ma zawsze dwa rozwiązania (nie zapomnij o ujemnym), bo $\mathsf{x}$ może być liczbą ujemną, a ${\mathsf{x}}^2$ i tak wyjdzie dodatnie.
2. Krok 1. Co jest dane
3. wzór ciągu oraz trójka, która ma być arytmetyczna
4. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=\frac{5\mathsf{n}+20}{\mathsf{n}+2}({\mathsf{a}}_3,5{\mathsf{x}}^2,9{\mathsf{x}}^2-6)$
5. Krok 2. Oblicz ${\mathsf{a}}_3$ (za $1$ punkt)
6. podstawiamy $\mathsf{n}=3$ do wzoru ciągu
7. ${\mathsf{a}}_3=\frac{5\cdot 3+20}{3+2}$
8. w liczniku i mianowniku wstawiamy $\mathsf{n}=3$
9. ${\mathsf{a}}_3=\frac{35}{5}$
10. liczymy licznik i mianownik osobno
11. ${\mathsf{a}}_3=\boxed{7}$
12. dzielimy licznik przez mianownik
13. Krok 3. Warunek ciągu arytmetycznego
14. środkowy wyraz jest średnią sąsiadów: $2{\mathsf{a}}_2={\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_3$
15. $2\cdot (5{\mathsf{x}}^2)=7+(9{\mathsf{x}}^2-6)$
16. Krok 4. Rozwiąż równanie (za $2$ punkty)
17. $10{\mathsf{x}}^2=7+9{\mathsf{x}}^2-6$
18. $2\cdot 5{\mathsf{x}}^2=10{\mathsf{x}}^2$
19. $10{\mathsf{x}}^2-9{\mathsf{x}}^2=7-6$
20. wyrazy z ${\mathsf{x}}^2$ zbieramy po lewej, liczby po prawej
21. ${\mathsf{x}}^2=\boxed{1}$
22. współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ jest równy $1$, więc od razu mamy postać ${\mathsf{x}}^2=...$
23. $\mathsf{x}=1\vee \mathsf{x}=-1$
24. równanie ${\mathsf{x}}^2=1$ ma dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

Najczęstsza pomyłka: podanie tylko <strong>dodatniego</strong> rozwiązania $\mathsf{x}=1$. Z ${\mathsf{x}}^2=1$ wynikają <strong>dwie</strong> wartości: $\mathsf{x}=1$ oraz $\mathsf{x}=-1$.

Ułamek ${\mathsf{a}}_3=\frac{35}{5}$ skraca się do liczby całkowitej $7$ - jeśli nie wychodzi całkowita, sprawdź podstawienie $\mathsf{n}=3$ w liczniku i mianowniku.