Ciąg arytmetyczny z warunkiem geometrycznym - suma

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek geometryczny → r → n → suma

1. Krok 1. Dane
2. Drugi, czwarty i ósmy wyraz tworzą - w tej kolejności - ciąg geometryczny
3. ${\mathsf{a}}_1=1,{\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=1097,{\mathsf{a}}_2={\mathsf{a}}_1+1\mathsf{r},{\mathsf{a}}_4={\mathsf{a}}_1+3\mathsf{r},{\mathsf{a}}_8={\mathsf{a}}_1+7\mathsf{r}$
4. Krok 2. Różnica ciągu
5. $(1+3r{)}^2=(1+\mathsf{r})\cdot (1+7r)$
6. w ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych; po rozwinięciu ${\mathsf{a}}_1^2$ skraca się po obu stronach
7. ${\mathsf{r}}^2-\mathsf{r}=0$
8. obie strony podzielono jeszcze przez wspólny czynnik liczbowy
9. $\mathsf{r}\left(\mathsf{r}-1\right)=0$
10. dla $\mathsf{r}=0$ ciąg byłby stały i ostatni wyraz byłby równy 1, a jest równy 1097
11. $\mathsf{r}=\boxed{1}$
12. Krok 3. Liczba wyrazów
13. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}={\mathsf{a}}_1+(\mathsf{n}-1)\cdot \mathsf{r}$
14. znamy pierwszy wyraz, różnicę i ostatni wyraz - niewiadomą jest $\mathsf{n}$
15. $1097=1+(\mathsf{n}-1)\cdot 1$
16. przenosimy ${\mathsf{a}}_1$ na lewą stronę
17. $(\mathsf{n}-1)\cdot 1=1096$
18. dzielimy obie strony przez różnicę ciągu
19. $\mathsf{n}-1=\boxed{1096}$
20. $\mathsf{n}=\boxed{1097}$
21. Krok 4. Suma wyrazów o numerach parzystych
22. ${\mathsf{a}}_2,{\mathsf{a}}_4,\dots ,{\mathsf{a}}_{1096}$ - ciąg arytmetyczny o różnicy $2r=2$
23. ${\mathsf{a}}_2=2,{\mathsf{a}}_{1096}=1096,\text{liczba wyrazoˊw: }548$
24. bierzemy co drugi wyraz ciągu $({\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$; wyrazów o numerach parzystych jest $\lfloor n/2\rfloor$
25. $\mathsf{S}=\frac{548}{2}\cdot \left(2+1096\right)$
26. $\mathsf{S}=\boxed{300852}$

Najczęstsza pomyłka: pozostawienie pierwiastka $\mathsf{r}=0$. Ciąg stały nie spełnia warunków zadania (pierwszy i ostatni wyraz są różne), więc to rozwiązanie trzeba odrzucić.