Trzywyrazowy ciąg arytmetyczny i malejący

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek arytmetyczności, potem monotoniczność

1. Sam warunek arytmetyczności daje dwa pierwiastki - dopiero znak różnicy $\mathsf{r}$ rozstrzyga, który z nich spełnia warunek monotoniczności.
2. Krok 1. Warunek arytmetyczności
3. środkowy wyraz jest średnią sąsiadów
4. $2\left({\mathsf{t}}^2+1\right)=\left(3t+7\right)+\left(\mathsf{t}+11\right)$
5. Krok 2. Doprowadź do postaci ogólnej
6. $2{\mathsf{t}}^2+2=4t+18$
7. po prawej stronie sumujemy wyrazy pierwszy i trzeci
8. $2{\mathsf{t}}^2-4t-16=0$
9. wszystkie składniki po jednej stronie dają równanie kwadratowe
10. ${\mathsf{t}}^2-2t-8=0$
11. Krok 3. Rozwiąż równanie
12. $\mathsf{\Delta }=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)$
13. współczynniki odczytujemy z postaci ogólnej
14. $\mathsf{\Delta }=36\sqrt{\mathsf{\Delta }}=6$
15. wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa pierwiastki
16. ${\mathsf{t}}_1=\frac{2-6}{2}=\boxed{-2}{\mathsf{t}}_2=\frac{2+6}{2}=\boxed{4}$
17. Sprawdź t = -2
18. $\left(1,5,9\right)$
19. obliczamy trzy wyrazy ciągu dla tego pierwiastka
20. $\mathsf{r}=5-1=4$
21. różnica ciągu decyduje o monotoniczności
22. $\mathsf{r}>0\Rightarrow \text{rosnący}$
23. Sprawdź t = 4
24. $\left(19,17,15\right)$
25. te same rachunki dla drugiego pierwiastka
26. $\mathsf{r}=17-19=-2$
27. różnica ciągu decyduje o monotoniczności
28. $\mathsf{r}<0\Rightarrow \text{malejący}$
29. Krok 4. Wybierz pierwiastek
30. ciąg ma być rosnący
31. $\mathsf{r}>0\Rightarrow \mathsf{t}=\boxed{-2}$

Najczęstsza pomyłka: pominięcie nawiasów przy odejmowaniu wyrazów, np. $\left({\mathsf{t}}^2+1\right)-3t+7$ zamiast $\left({\mathsf{t}}^2+1\right)-\left(3t+7\right)$.

Podanie obu pierwiastków bez odrzucenia niewłaściwego nie kończy rozwiązania - trzeba uzasadnić, że $\mathsf{t}=-2$ jest jedyną wartością spełniającą oba warunki.