Wyznacz wyraz ze wzoru na sumę

Rozwiązanie krok po kroku

Różnica sum

1. Wzór na sumę
2. ${\mathsf{S}}_{\mathsf{n}}=-{\mathsf{n}}^2$
3. Suma fragmentu ciągu
4. ${\mathsf{a}}_9+{\mathsf{a}}_{10}+{\mathsf{a}}_{11}={\mathsf{S}}_{11}-{\mathsf{S}}_8$
5. Od sumy 11 początkowych wyrazów odejmujemy sumę 8 początkowych: zostają wyrazy o numerach od 9 do 11.
6. ${\mathsf{S}}_{11}=\boxed{-121},{\mathsf{S}}_8=\boxed{-64}$
7. Odejmujemy obliczone sumy.
8. ${\mathsf{a}}_9+{\mathsf{a}}_{10}+{\mathsf{a}}_{11}=-121-(-64)=\boxed{-57}$

Wzór ogólny ciągu

1. Wyraz ogólny dla n ≥ 2
2. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}={\mathsf{S}}_{\mathsf{n}}-{\mathsf{S}}_{\mathsf{n}-1}$
3. Dla $\mathsf{n}\ge 2$ różnica dwóch kolejnych sum to wyraz o numerze $\mathsf{n}$; wyraz wolny wzoru się skraca.
4. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=\boxed{-2n+1}$
5. Suma wyrazów ciągu arytmetycznego
6. ${\mathsf{a}}_9=\boxed{-17},{\mathsf{a}}_{11}=\boxed{-21}$
7. Od numeru 9 do 11 jest 3 wyrazów ciągu arytmetycznego: średnia skrajnych razy ich liczba.
8. ${\mathsf{a}}_9+{\mathsf{a}}_{10}+{\mathsf{a}}_{11}=\frac{-17+(-21)}{2}\cdot 3=\boxed{-57}$

Wzór na ${\mathsf{S}}_{\mathsf{n}}$ nie ma wyrazu wolnego, więc także ${\mathsf{a}}_1={\mathsf{S}}_1=-1$ spełnia ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=-2n+1$: ciąg $({\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$ jest arytmetyczny od pierwszego wyrazu.