Objętość ostrosłupa prawidłowego z kątem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: podstawa → wysokość → objętość

1. Schemat jest zawsze ten sam: z danej → krawędź $\mathsf{a}$ i pole $\mathsf{P}$, z kąta → wysokość $\mathsf{H}$, na końcu $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\mathsf{PH}$. Zmienia się tylko sposób odczytania $\mathsf{a}$ z podanej wielkości.
2. Krok 1. Krawędź i pole podstawy
3. z danej o podstawie wyznaczamy krawędź $\mathsf{a}$ (tu ${\mathsf{a}}^2=18$)
4. $\mathsf{a}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
5. podstawą jest kwadrat o krawędzi $\mathsf{a}$ - odczytujemy ją z danej (przekątna, bok, promień lub pole)
6. $\mathsf{P}={\mathsf{a}}^2$
7. pole kwadrata o boku $\mathsf{a}$
8. $\mathsf{P}=\boxed{18}$
9. Krok 2. Wysokość ostrosłupa
10. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45°$
11. $\mathrm{tg}45°=\frac{\mathsf{H}}{\text{odcinek w podstawie}}$
12. wysokość $\mathsf{H}$ i odcinek w podstawie (promień okręgu wpisanego lub połowa przekątnej) tworzą trójkąt prostokątny z kątem $45°$
13. $\mathsf{H}=\boxed{3}$
14. Krok 3. Objętość ostrosłupa
15. $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\mathsf{P}\mathsf{H}$
16. $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3$
17. objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości
18. $\mathsf{V}=\boxed{18}$

Najczęstsza pomyłka: pominięcie czynnika $\frac{1}{3}$ (to ostrosłup, nie graniastosłup) lub użycie krawędzi bocznej zamiast wysokości $\mathsf{H}$ w objętości.