Ostrosłup: kąt między ścianami z kąta między krawędziami

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: od okręgu opisanego do kąta dwuściennego

1. Sedno: rozmiar podstawy służy tylko do policzenia krawędzi $\mathsf{a}$ - do kąta dwuściennego $\phi$ w ogóle nie jest potrzebny, bo $\cos \phi =\frac{\cos \beta }{1+\cos \beta }$ zależy wyłącznie od kąta $\beta$ między krawędziami bocznymi.
2. Krok 1. Dane bryły
3. Ostrosłup prawidłowy trójkątny: podstawa $\mathsf{ABC}$ równoboczna, środek $\mathsf{O}$ jest środkiem okręgu opisanego o promieniu $\mathsf{R}$.
4. $\text{obwoˊd okręgu}=8\sqrt{2}\pi ,\cos \beta =\frac{1}{4}$
5. Krok 2. Krawędź podstawy $\mathsf{a}$
6. Z obwodu okręgu opisanego wyznaczamy $\mathsf{R}$, a w trójkącie równobocznym $\mathsf{a}=\mathsf{R}\sqrt{3}$.
7. $2\pi \mathsf{R}=8\sqrt{2}\pi$
8. obwód okręgu opisanego to $2\pi \mathsf{R}$ - przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez $2\pi$
9. $\mathsf{R}=\boxed{4\sqrt{2}}$
10. w trójkącie równobocznym bok jest $\sqrt{3}$ razy dłuższy od promienia okręgu opisanego
11. $\mathsf{a}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\boxed{4\sqrt{6}}$
12. Krok 3. Krawędź boczna $\mathsf{b}$
13. W trójkącie równoramiennym $\mathsf{BSC}$ ($\mathsf{SB}=\mathsf{SC}=\mathsf{b}$, $\mathsf{BC}=\mathsf{a}$) stosujemy twierdzenie cosinusów.
14. ${\mathsf{a}}^2={\mathsf{b}}^2+{\mathsf{b}}^2-2{\mathsf{b}}^2\cos \beta$
15. bok $\mathsf{BC}=\mathsf{a}$ leży naprzeciw kąta $\beta$ przy wierzchołku $\mathsf{S}$, a oba ramiona mają długość $\mathsf{b}$
16. ${\mathsf{a}}^2=2{\mathsf{b}}^2\left(1-\frac{1}{4}\right)$
17. grupujemy wyrazy z ${\mathsf{b}}^2$ i podstawiamy $\cos \beta$ z danych
18. $96=2{\mathsf{b}}^2\cdot \frac{3}{4}$
19. sprowadzamy $1-\cos \beta$ do jednego ułamka i wstawiamy ${\mathsf{a}}^2=(4\sqrt{6}{)}^2$
20. ${\mathsf{b}}^2=\boxed{64}$
21. Krok 4. Kąt między ścianami $\mathsf{SAC}$ i $\mathsf{SBC}$
22. Kąt liniowy tworzą wysokości $\mathsf{AP},\mathsf{BP}$ ścian opuszczone na wspólną krawędź $\mathsf{SC}$; po podstawieniu wynik zależy tylko od $\cos \beta$.
23. $\cos \phi =1-\frac{{\mathsf{a}}^2}{2\mathsf{A}{\mathsf{P}}^2},\mathsf{A}{\mathsf{P}}^2=\frac{{\mathsf{a}}^2(1+\cos \beta )}{2}$
24. $\mathsf{P}$ to spodek wysokości z $\mathsf{A}$ i z $\mathsf{B}$ na krawędź $\mathsf{SC}$; w trójkącie $\mathsf{APB}$ bok $\mathsf{AB}=\mathsf{a}$ leży naprzeciw szukanego kąta $\phi$
25. $\cos \phi =1-\frac{{\mathsf{a}}^2}{{\mathsf{a}}^2\left(1+\cos \beta \right)}=1-\frac{1}{1+\cos \beta }$
26. kwadrat krawędzi podstawy skraca się - wynik przestaje zależeć od rozmiaru bryły
27. $\cos \phi =\frac{\cos \beta }{1+\cos \beta }=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$
28. wstawiamy $\cos \beta$ z danych - w liczniku i mianowniku pojawia się ten sam mianownik $4$, który się skróci
29. $\cos \phi =\boxed{\frac{1}{5}}$

Mylenie kąta $\beta$ między krawędziami bocznymi (płaski, w trójkącie $\mathsf{BSC}$) z kątem dwuściennym $\phi$ między ścianami. To dwa różne kąty - $\phi$ mierzymy między wysokościami ścian opuszczonymi na wspólną krawędź $\mathsf{SC}$, nie między samymi krawędziami.

Wzór $\cos \phi =\frac{\cos \beta }{1+\cos \beta }$ jest zamknięty - nie zależy od długości krawędzi. Krawędź $\mathsf{a}$ i $\mathsf{b}$ liczymy tylko dlatego, że treść pyta osobno o długość $\mathsf{a}$; do drugiej szukanej wystarczy sam $\cos \beta$.