Oblicz pole boczne z kąta ścian

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: kąt dwuścienny wyznacza proporcje bryły

1. Prostopadłość i kąt β
2. $\mathsf{E}$ to rzut prostokątny wierzchołka $\mathsf{A}$ na krawędź $\mathsf{SB}$
3. $\mathsf{AB}\perp \mathsf{DA},\mathsf{AB}\perp \mathsf{SD}$
4. bok kwadratu jest prostopadły do sąsiedniego boku, a krawędź SD jako wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy
5. $\mathsf{AB}\perp \text{płaszczyzna }\mathsf{DAS}$
6. prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny
7. $\mathsf{AB}\perp \mathsf{AS}$
8. trójkąt ABS jest prostokątny przy A, analogicznie trójkąt BCS przy C; rzuty A i C na krawędź SB pokrywają się w punkcie $\mathsf{E}$ dzięki symetrii bryły
9. $\beta =|\angle \mathsf{AEC}|$
10. Kąt β wyznacza proporcje
11. $\cos \beta =-\frac{576}{625}$
12. z tożsamości $1+{\mathrm{tg}}^2\beta =\frac{1}{{\cos }^2\beta }$; tangens jest ujemny, więc kąt $\beta$ jest rozwarty i $\cos \beta <0$
13. $|\mathsf{AC}{|}^2=2|\mathsf{AE}{|}^2(1-\cos \beta )$
14. trójkąt AEC jest równoramienny, bo $|\mathsf{AE}|=|\mathsf{CE}|$, a $|\mathsf{AC}|=\mathsf{a}\sqrt{2}$ to przekątna kwadratu
15. $|\mathsf{AE}|=\frac{\mathsf{a}\cdot |\mathsf{SA}|}{|\mathsf{SB}|}$
16. wysokość z wierzchołka kąta prostego w trójkącie ABS: pole liczone na dwa sposoby
17. $\cos \beta =1-\frac{|\mathsf{SB}{|}^2}{|\mathsf{SA}{|}^2}=-\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{SA}{|}^2}$
18. $|\mathsf{SB}{|}^2={\mathsf{a}}^2+|\mathsf{SA}{|}^2$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABS
19. $\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{SA}{|}^2}=\frac{576}{625}\Rightarrow |\mathsf{SA}|=\frac{25}{24}\mathsf{a}$
20. z twierdzenia Pitagorasa: $|\mathsf{SD}{|}^2=|\mathsf{SA}{|}^2-{\mathsf{a}}^2$ oraz $|\mathsf{SB}{|}^2={\mathsf{a}}^2+|\mathsf{SA}{|}^2$
21. $|\mathsf{SD}|=\frac{7}{24}\mathsf{a},|\mathsf{SB}|=\frac{\sqrt{1201}}{24}\mathsf{a}$
22. Skala bryły z danej wielkości
23. $4a=384\sqrt{1201}\Rightarrow \mathsf{a}=96\sqrt{1201}$
24. obwód kwadratu o boku $\mathsf{a}$ jest równy $4a$
25. $|\mathsf{SD}|=\boxed{28\sqrt{1201}},|\mathsf{SA}|=\boxed{100\sqrt{1201}}$
26. proporcje z poprzedniego kroku zastosowane do krawędzi $\mathsf{a}=96\sqrt{1201}$
27. $|\mathsf{SB}|=\frac{\sqrt{1201}}{24}\mathsf{a}=\boxed{4804}$
28. Odcinki przy punkcie E
29. $|\mathsf{AE}|=\frac{\mathsf{a}\cdot |\mathsf{SA}|}{|\mathsf{SB}|}=\boxed{2400}$
30. pole trójkąta ABS liczone na dwa sposoby: $\frac{1}{2}\mathsf{a}|\mathsf{SA}|=\frac{1}{2}|\mathsf{SB}||\mathsf{AE}|$
31. $|\mathsf{BE}|=\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{SB}|}=\boxed{2304}$
32. Szukana wielkość
33. długość krawędzi bocznej $\mathsf{SD}$
34. $|\mathsf{SD}|=\frac{7}{24}\mathsf{a}=\frac{7}{24}\cdot 96\sqrt{1201}$
35. wartość wynika z proporcji wyznaczonej przez kąt $\beta$
36. $\boxed{28\sqrt{1201}}$

Najczęstsza pomyłka: pominięcie znaku minus przy $\cos \beta$. Kąt między ścianami jest rozwarty, więc $\cos \beta <0$; użycie wartości dodatniej daje $|\mathsf{AE}|$ liczone z $\frac{{\mathsf{a}}^2{\mathsf{n}}^2}{{\mathsf{k}}^2}$ zamiast $\frac{{\mathsf{a}}^2{\mathsf{n}}^2}{1201}$ i cała dalsza część rozwiązania się rozjeżdża.