Objętość ostrosłupa z kątem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wysokość z kąta ściany + objętość

1. Krok 1. Ostrosłup i jego wysokość
2. odcinek od środka podstawy do środka krawędzi $\mathsf{d}=\frac{\mathsf{a}}{2}=3$, kąt ściany bocznej $\alpha =30°$
3. $\mathsf{a}=6,\mathsf{d}=\frac{6}{2}=3,\alpha =30°$
4. Krok 2. Wysokość ostrosłupa
5. w trójkącie prostokątnym: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathsf{h}}{\mathsf{d}}$
6. $\mathsf{h}=\mathsf{d}\cdot \mathrm{tg}\alpha =3\cdot \mathrm{tg}30°$
7. tangens kąta nachylenia to stosunek wysokości do odcinka $\mathsf{d}$ w podstawie
8. $\mathsf{h}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
9. wartość tangensa 30° z tablicy kątów szczególnych
10. $\mathsf{h}=\boxed{\sqrt{3}}$
11. Krok 3. Objętość ostrosłupa
12. pole podstawy to kwadrat: $\mathsf{P}={\mathsf{a}}^2=36$
13. $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\cdot {\mathsf{a}}^2\cdot \mathsf{h}=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{3}$
14. objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości
15. $\mathsf{V}=12\cdot \sqrt{3}$
16. jedna trzecia pola podstawy: $\frac{1}{3}\cdot 36=12$
17. $\mathsf{V}=\boxed{12\sqrt{3}}$

Najczęstsza pomyłka: wzięcie krawędzi podstawy $\mathsf{a}$ zamiast odcinka $\mathsf{d}=\frac{\mathsf{a}}{2}$ jako przyprostokątnej - daje wysokość dwa razy za dużą.

Druga pułapka: pominięcie czynnika $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość ostrosłupa (to nie graniastosłup).