Oblicz objętość z kąta ścian

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przekrój BED i podobieństwo trójkątów

1. Dane
2. E: rzut prostokątny wierzchołków B i D na krawędź SC
3. $|\mathsf{SC}|=11\sqrt{11},\cos \phi =-\frac{1}{10}$
4. Trójkąt EOB
5. $|\mathsf{OB}|=|\mathsf{OC}|=\frac{\mathsf{a}\sqrt{2}}{2}$
6. Płaszczyzna BED jest prostopadła do SC, więc OE jest wysokością trójkąta równoramiennego BED i dzieli kąt φ na połowy.
7. $|\mathsf{OE}|=|\mathsf{OB}|\cdot \mathrm{ctg}\frac{\phi }{2}$
8. W trójkącie prostokątnym EOB przyprostokątna OE leży przy kącie φ/2.
9. $|\mathsf{OE}|=\frac{\mathsf{a}\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{11}}{11}=\boxed{\frac{3a\sqrt{22}}{22}}$
10. Trójkąt OCE
11. $|\mathsf{EC}{|}^2=|\mathsf{OC}{|}^2-|\mathsf{OE}{|}^2$
12. OE jest prostopadły do SC, więc trójkąt OEC jest prostokątny z przeciwprostokątną OC.
13. $|\mathsf{EC}{|}^2=\frac{{\mathsf{a}}^2}{2}-\frac{9{\mathsf{a}}^2}{22}$
14. Po odjęciu zostaje wielokrotność a², z której wyciągamy pierwiastek.
15. $|\mathsf{EC}|=\boxed{\frac{a\sqrt{11}}{11}}$
16. Podobieństwo trójkątów SOC i OEC
17. $\frac{|\mathsf{SO}|}{|\mathsf{OE}|}=\frac{|\mathsf{OC}|}{|\mathsf{EC}|}$
18. Oba trójkąty mają kąt prosty i wspólny kąt przy wierzchołku C (cecha kkk).
19. $|\mathsf{SO}|=\frac{|\mathsf{OC}|\cdot |\mathsf{OE}|}{|\mathsf{EC}|}$
20. Podstawiamy |OC|, |OE| i |EC| wyrażone przez a.
21. $|\mathsf{SO}|=\boxed{\frac{3a}{2}}$
22. Wymiary bryły
23. $|\mathsf{SC}|=\sqrt{|\mathsf{SO}{|}^2+|\mathsf{OC}{|}^2}=\frac{\mathsf{a}\sqrt{11}}{2}=11\sqrt{11}$
24. Dana długość wyrażona przez a daje równanie na krawędź podstawy.
25. $\mathsf{a}=\boxed{22},|\mathsf{SO}|=\frac{3a}{2}=\boxed{33}$
26. Wynik
27. $|\mathsf{OE}|=\frac{3a\sqrt{22}}{22}=\boxed{3\sqrt{22}}$
28. Długość |OE| wyznaczona w trójkącie EOB, teraz z liczbową wartością a.
29. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{BDE}}=\frac{1}{2}|\mathsf{BD}|\cdot |\mathsf{OE}|=\frac{1}{2}\cdot 22\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{22}$
30. Wykonujemy działania i upraszczamy wynik.
31. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{BDE}}=\boxed{66\sqrt{11}}$

W trójkącie $\mathsf{EOB}$ kąt przy wierzchołku $\mathsf{E}$ jest równy $\frac{\phi }{2}$, a nie $\phi$: odcinek $\mathsf{OE}$ dzieli kąt $\mathsf{BED}$ na połowy.