Wyznacz największe pole boczne

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: model kwadratowy i wierzchołek

1. Kolejność jest istotna: warunek daje drugi wymiar, drugi wymiar daje wzór funkcji, dopiero wzór pozwala szukać wierzchołka.
2. Krok 1. Warunek i wzór na pole
3. Pole jest iloczynem dwóch wymiarów: $\mathsf{P}=2rh$
4. $2r+\mathsf{h}=14$
5. Krok 2. Wzór funkcji $\mathsf{P}$
6. $2r+\mathsf{h}=14$
7. warunek wiąże oba wymiary, więc drugi z nich zapisujemy przez zmienną
8. $\mathsf{h}=14-2r$
9. w miejsce drugiego wymiaru wstawiamy otrzymane wyrażenie
10. $\mathsf{P}(\mathsf{r})=2r(14-2r)$
11. iloczyn dwóch czynników liniowych daje funkcję kwadratową
12. $\mathsf{P}(\mathsf{r})=\boxed{28r-4r^2}$
13. Krok 3. Dziedzina
14. $\mathsf{r}>0\text{oraz}14-2r>0$
15. oba wymiary bryły są dodatnie, więc wyrażenie na drugi wymiar też musi być dodatnie
16. $\mathsf{r}>0\text{oraz}\mathsf{r}<7$
17. dziedziną są argumenty spełniające oba warunki naraz
18. $\mathsf{D}=\boxed{(0,7)}$
19. Krok 4. Największa wartość
20. $\mathsf{P}(\mathsf{r})=28r-4{\mathsf{r}}^2$
21. współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku
22. ${\mathsf{r}}_{\mathsf{w}}=\frac{-28}{2\cdot (-4)}=\boxed{\frac{7}{2}}$
23. do pola potrzebny jest jeszcze drugi wymiar w tym samym punkcie
24. $\mathsf{h}=14-2\cdot \frac{7}{2}=\boxed{7}$
25. pole liczymy z obu wymiarów wierzchołkowych
26. $\mathsf{P}=2\cdot \frac{7}{2}\cdot 7$
27. iloczyn wymiarów i stałej daje największe pole
28. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{max}}=\boxed{49}$

Z miejsc zerowych paraboli

1. Miejsca zerowe pola pokrywają się z krańcami dziedziny: przy obu bryła traci jeden z wymiarów. Ta droga daje sam argument wierzchołka, resztę rachunku prowadzi się jak w sposobie pierwszym.
2. Postać iloczynowa
3. $\mathsf{P}(\mathsf{r})=2r(14-2r)$
4. Symetria wykresu
5. $2r(14-2r)=0$
6. iloczyn zeruje się, gdy zeruje się jeden z czynników
7. $\mathsf{r}=0\text{lub}\mathsf{r}=7$
8. parabola jest symetryczna, więc wierzchołek leży w połowie odległości między miejscami zerowymi
9. ${\mathsf{r}}_{\mathsf{w}}=\boxed{\frac{7}{2}}$

Podanie <strong>miejsca zerowego</strong> $7$ zamiast argumentu wierzchołka $\frac{7}{2}$. Przy $\mathsf{r}=7$ drugi wymiar bryły spada do zera, więc pole też wynosi zero.<br><br>Druga częsta pomyłka: pominięcie dziedziny. Bez warunku $14-2r>0$ wzór opisuje parabolę na całej osi, a bryła istnieje tylko dla $\mathsf{r}\in (0,7)$.

Dziedziny nie domykamy: dla $\mathsf{r}=0$ oraz $\mathsf{r}=7$ jeden z wymiarów jest zerowy i bryła nie powstaje, dlatego przedział $(0,7)$ jest obustronnie otwarty.