Stożek: pola i kąt rozwarcia (P/F)

Rozwiązanie krok po kroku

Wymiary → pola → kąty

1. Krok 1. Wymiary stożka
2. dane: tworząca $\mathsf{l}$ i wysokość $\mathsf{h}$ → szukamy promienia $\mathsf{r}$
3. $\mathsf{r}=\sqrt{{\mathsf{l}}^2-{\mathsf{h}}^2}$
4. z twierdzenia Pitagorasa w przekroju osiowym
5. $\mathsf{r}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}$
6. obliczamy różnicę pod pierwiastkiem
7. $\mathsf{l}=2,\mathsf{h}=\sqrt{3},\mathsf{r}=\boxed{1}$
8. Krok 2. Pola powierzchni
9. ${\mathsf{P}}_{\text{pod}}=\pi {\mathsf{r}}^2=\pi \cdot 1=\boxed{1\pi }$
10. pole koła w podstawie
11. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}=\pi \mathsf{rl}=\pi \cdot 1\cdot 2=\boxed{2\pi }$
12. pole powierzchni bocznej
13. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}}{{\mathsf{P}}_{\text{pod}}}=\frac{\mathsf{l}}{\mathsf{r}}=2$
14. ile razy pole boczne przewyższa pole podstawy
15. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}={\mathsf{P}}_{\text{pod}}+{\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}=\boxed{3\pi }$
16. Krok 3. Przekrój osiowy i kąty
17. $\text{ramiona }\mathsf{l}=2,\text{podstawa }2r=2$
18. przekrój osiowy to trójkąt równoramienny
19. $\text{przekroˊj }\mathsf{jestr}\acute{\mathsf{o}}\mathsf{wnoboczny}$
20. przekrój jest równoboczny dokładnie wtedy, gdy 2r = l
21. $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\mathsf{r}}{\mathsf{l}}=\frac{1}{2}$
22. α to kąt rozwarcia; równy $60^{\circ }$ gdy l = 2r
23. $\theta =360^{\circ }\cdot \frac{\mathsf{r}}{\mathsf{l}}=\boxed{180^{\circ }}$

Najczęstsza pomyłka: użycie średnicy zamiast promienia (pole podstawy $\pi (2r{)}^2$ zamiast $\pi {\mathsf{r}}^2$) lub policzenie pola bocznego jako $\pi {\mathsf{r}}^2$ zamiast $\pi \mathsf{rl}$.

Kąt rozwarcia ma miarę $60^{\circ }$ dokładnie wtedy, gdy tworząca jest dwa razy dłuższa od promienia ($\mathsf{l}=2r$) - wówczas przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym.