Walec z przekątnej przekroju osiowego

Rozwiązanie krok po kroku

Przekrój osiowy: trójkąt prostokątny → wymiary → bryła

1. Krok 1. Przekrój osiowy
2. $△\mathsf{ABD}$: $\angle \mathsf{A}=90^{\circ }$, $\mathsf{BD}=8\sqrt{3}$, $\angle \mathsf{ADB}=60^{\circ }$
3. $\mathsf{AB}=2r,\mathsf{AD}=\mathsf{h}$
4. Krok 2. Promień podstawy
5. $\mathsf{AB}=\mathsf{BD}\cos \angle \mathsf{ABD}=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
6. kąt między średnicą $\mathsf{AB}$ a przekątną $\mathsf{BD}$ wynosi $30^{\circ }$
7. $\mathsf{AB}=\boxed{12}$
8. średnica to dwa promienie, więc $\mathsf{r}=\mathsf{AB}:2$
9. $\mathsf{r}=\boxed{6}$
10. Krok 3. Wysokość walca
11. $\mathsf{h}=\mathsf{AD}=\mathsf{BD}\sin \angle \mathsf{ABD}=8\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}$
12. $\mathsf{AD}$ leży naprzeciw kąta przy $\mathsf{B}$
13. $\mathsf{h}=\boxed{4\sqrt{3}}$
14. Krok 4. Oblicz objętość $\mathsf{V}$
15. $\mathsf{V}=\pi {\mathsf{r}}^2\mathsf{h}$
16. podstawiamy wyznaczony promień i wysokość
17. $\mathsf{V}=\boxed{144\sqrt{3}\pi }$
18. Krok 5. Oblicz pole powierzchni całkowitej ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}$
19. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}=2\pi {\mathsf{r}}^2+2\pi \mathsf{rh}$
20. ten sam promień i wysokość w drugim wzorze
21. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}=\boxed{(72+48\sqrt{3})\pi }$

Pole całkowite to suma dwóch podstaw $2\pi {\mathsf{r}}^2$ i pola bocznego $2\pi \mathsf{rh}$. Gdy w wyniku występuje $\sqrt{3}$, składników nie da się połączyć - zostawiamy postać $(\mathsf{a}+\mathsf{b}\sqrt{3})\pi$.