Oblicz największe pole trapezu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pole jako funkcja jednej zmiennej i pochodna

1. Krok 1. Wysokość w zależności od x
2. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{h}}^2={10}^2$
3. Rzut ramienia, wysokość i ramię tworzą trójkąt prostokątny.
4. $\mathsf{h}=\sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}$
5. Podstawy mają różne długości, więc x > 0, a wysokość jest dodatnia, więc x < 10.
6. $\mathsf{h}=\boxed{\sqrt{100-x^2}},\mathsf{x}\in (0;10)$
7. Krok 2. Pole jako funkcja x
8. $\mathsf{P}=\frac{\mathsf{a}+46}{2}\cdot \mathsf{h}$
9. Dłuższa podstawa to krótsza podstawa powiększona o dwa rzuty ramion.
10. $\mathsf{P}=\frac{46+2x+46}{2}\cdot \sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}$
11. Licznik dzielimy przez 2.
12. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{(x+46)\sqrt{100-x^2}}$
13. Krok 3. Pochodna
14. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=(\mathsf{x}+46)\cdot \sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}$
15. Pochodna iloczynu; pierwiastek różniczkujemy jak funkcję złożoną.
16. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})=\sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}+(\mathsf{x}+46)\cdot \frac{-\mathsf{x}}{\sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}}$
17. Pierwszy składnik rozszerzamy przez pierwiastek.
18. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{100-{\mathsf{x}}^2-{\mathsf{x}}^2-46x}{\sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}}$
19. Łączymy wyrazy podobne w liczniku.
20. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})=\boxed{\frac{-2x^2-46x+100}{\sqrt{100-x^2}}}$
21. Krok 4. Miejsca zerowe i maksimum
22. $\frac{-2{\mathsf{x}}^2-46x+100}{\sqrt{100-{\mathsf{x}}^2}}=0$
23. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc o miejscach zerowych i znaku pochodnej decyduje licznik.
24. $2{\mathsf{x}}^2+46x-100=0$
25. Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
26. $\mathsf{\Delta }=2916,\sqrt{\mathsf{\Delta }}=54$
27. Pierwiastki trójmianu ze wzorów.
28. ${\mathsf{x}}_1=\frac{-46+54}{4}=2,{\mathsf{x}}_2=\frac{-46-54}{4}=-25\notin \mathsf{D}$
29. Licznik jest trójmianem o ujemnym współczynniku przy x², więc jest dodatni między pierwiastkami i ujemny za x₁.
30. ${\mathsf{P}}^{\prime }>0\text{ na }(0;2),{\mathsf{P}}^{\prime }<0\text{ na }(2;10)$
31. Funkcja P rośnie, a potem maleje, więc w x₁ osiąga największą wartość.
32. ${\mathsf{P}}_{\max }\text{ dla }\mathsf{x}=\boxed{2}$
33. Krok 5A. Przekątna
34. $\mathsf{d}=\sqrt{(\mathsf{x}+46{)}^2+{\mathsf{h}}^2}=\sqrt{{\left(48\right)}^2+{\left(4\sqrt{6}\right)}^2}=\boxed{20\sqrt{6}}$
35. Krok 5B. Największe pole
36. $\mathsf{P}\left(2\right)=\left(2+46\right)\cdot \sqrt{100-{\left(2\right)}^2}$
37. Podstawiamy x₁ do wzoru na pole.
38. $\mathsf{P}=48\cdot 4\sqrt{6}$
39. Czynnik x₁ + b to połowa sumy podstaw, mnożymy go przez wysokość.
40. $\mathsf{P}=\boxed{192\sqrt{6}}$
41. Wynik
42. $\boxed{\mathbf{d}=20\sqrt{6}\text{ cm},\mathbf{P}=192\sqrt{6}{\text{ cm}}^2}$

Pominięcie dziedziny $\mathsf{x}\in (0;10)$. Bez niej nie da się odrzucić pierwiastka ${\mathsf{x}}_2=-25$ ani uzasadnić, że w ${\mathsf{x}}_1$ pole jest największe w całej dziedzinie, a nie tylko lokalnie.