Pochodna ilorazu z parametrem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: reguła ilorazu, równanie w $\mathsf{a}$, faktoryzacja

1. Warunek zadania sprowadza się do równania trzeciego stopnia w parametrze $\mathsf{a}$ - z faktoryzacji zostaje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, bo kwadratowy czynnik ma $\mathsf{\Delta }<0$.
2. Krok 1. Funkcja i warunek
3. Szukamy wszystkich $\mathsf{a}$, dla których pochodna w punkcie $\mathsf{x}=\mathsf{a}$ ma zadaną wartość.
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\frac{\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2+2x}{\mathsf{x}+1},{\mathsf{f}}^{\prime }\left(\mathsf{a}\right)=-\mathsf{a}$
5. Krok 2. Pochodna ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})$
6. $\mathsf{u}=\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2+2x$, $\mathsf{v}=\mathsf{x}+1$, więc ${\mathsf{u}}^{\prime }=2ax+2$, ${\mathsf{v}}^{\prime }=1$.
7. ${\left(\frac{\mathsf{u}}{\mathsf{v}}\right)}^{\prime }=\frac{{\mathsf{u}}^{\prime }\mathsf{v}-\mathsf{u}{\mathsf{v}}^{\prime }}{{\mathsf{v}}^2}$
8. wzór na pochodną ilorazu: pochodna licznika razy mianownik MINUS licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
9. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{\left(2ax+2\right)\left(\mathsf{x}+1\right)-\left(\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2+2x\right)\cdot 1}{{\left(\mathsf{x}+1\right)}^2}$
10. parametr $\mathsf{a}$ traktujemy jak stałą - pochodna liczona jest po $\mathsf{x}$
11. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{2a{\mathsf{x}}^2+2ax+2x+2-\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2-2x}{{\left(\mathsf{x}+1\right)}^2}$
12. wyrazy z samym $\mathsf{x}$ ($+2x$ i $-2x$) znoszą się, kwadraty odejmują się do $\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2$, a stałe zwijają się w jeden wyraz wolny
13. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{\boxed{a{x}^2+2ax+2}}{{\left(\mathsf{x}+1\right)}^2}$
14. Krok 3. Równanie z warunku
15. Podstawiamy $\mathsf{x}=\mathsf{a}$ i mnożymy przez kwadrat mianownika.
16. ${\mathsf{f}}^{\prime }\left(\mathsf{a}\right)=-\mathsf{a}$
17. punkt $\mathsf{x}=\mathsf{a}$ należy do dziedziny, więc ${\left(\mathsf{a}+1\right)}^2>0$ i mnożenie obu stron nie zmienia zbioru rozwiązań; przy współczynniku połówkowym mnożymy dodatkowo przez $2$
18. $\boxed{2a^3+4a^2+a+2=0}$
19. Krok 4. Rozwiązanie równania
20. Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy na czynnik liniowy i trójmian.
21. $(\mathsf{a}+2)\left(2{\mathsf{a}}^2+1\right)=0$
22. pierwiastek całkowity zgadujemy wśród dzielników wyrazu wolnego, dzielimy wielomian przez czynnik liniowy; trójmian w nawiasie ma ujemny wyróżnik, więc nie daje żadnych pierwiastków rzeczywistych
23. $\mathsf{a}=\boxed{-2}$

Odwrócenie kolejności w regule ilorazu - policzenie $\frac{\mathsf{u}{\mathsf{v}}^{\prime }-{\mathsf{u}}^{\prime }\mathsf{v}}{{\mathsf{v}}^2}$ zamiast $\frac{{\mathsf{u}}^{\prime }\mathsf{v}-\mathsf{u}{\mathsf{v}}^{\prime }}{{\mathsf{v}}^2}$ zmienia znak całego licznika pochodnej i prowadzi do równania z przeciwnymi znakami. Drugi częsty błąd: pomnożenie prawej strony przez $\left(\mathsf{a}+1\right)$ zamiast przez ${\left(\mathsf{a}+1\right)}^2$.

Ujemna delta trójmianu $2{\mathsf{a}}^2+1$ oznacza tylko tyle, że TEN czynnik nie ma pierwiastków - całe równanie wciąż ma rozwiązanie $\mathsf{a}=-2$ z czynnika liniowego. Wniosek "$\mathsf{\Delta }<0$, więc brak rozwiązań" byłby poprawny tylko wtedy, gdyby trójmian był całym równaniem.