Oblicz najwieksza objetosc

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pochodna objętości

1. Warunek z treści wiąże dwie wielkości bryły, więc objętość sprowadza się do funkcji jednej zmiennej na przedziale $\left(0,2\sqrt{2}\right)$.
2. Krok 1. Warunek z treści
3. stożki, zmienna $\mathsf{r}\in \left(0,2\sqrt{2}\right)$
4. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}=16\pi$
5. Krok 2. Druga wielkość przez zmienną
6. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}=16\pi$
7. z warunku zadania wyliczamy drugą wielkość, aby objętość zależała od jednej zmiennej
8. $\mathsf{h}=\frac{4\sqrt{16-2{\mathsf{r}}^2}}{\mathsf{r}}$
9. Krok 3. Objętość jednej zmiennej
10. podstawiamy $\mathsf{h}$ do wzoru na objętość
11. $\mathsf{V}(\mathsf{r})=\boxed{\frac{4\pi }{3}r\sqrt{16-2r^2}}$
12. Krok 4. Pochodna i jej miejsce zerowe
13. funkcja pomocnicza $\mathsf{f}$ ma maksimum tam, gdzie $\mathsf{V}$
14. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{r})=512r-128{\mathsf{r}}^3$
15. ekstremum funkcji różniczkowalnej leży w miejscu zerowym pochodnej
16. $128r\left(4-{\mathsf{r}}^2\right)=0$
17. pierwiastki spoza dziedziny odrzucamy, zostaje jeden kandydat
18. $\mathsf{r}=\boxed{2}$
19. Krok 5. Uzasadnienie maksimum
20. pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny
21. ${\mathsf{f}}^{\prime }>0\text{ w }\left(0,2\right){\mathsf{f}}^{\prime }<0\text{ w }\left(2,2\sqrt{2}\right)$
22. Krok 6. Oblicz największą objętość.
23. podstawiamy $\mathsf{r}=2$
24. ${\mathsf{V}}_{\max }=\boxed{\frac{16\pi \sqrt{2}}{3}}$

Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza: pełne rozwiązanie wymaga zbadania znaku ${\mathsf{f}}^{\prime }$ po obu stronach punktu $\mathsf{r}=2$.