Zmaksymalizuj pole czworokąta

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna: badanie znaku

1. Wierzchołki na osiach
2. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=0⟺21(\mathsf{x}-7)=0$
3. ułamek jest zerem dokładnie wtedy, gdy zerem jest jego licznik
4. $\mathsf{f}(0)=\frac{21\cdot (0-7)}{0-14}$
5. punkt na osi $\mathsf{Oy}$ ma odciętą zero, więc jego rzędną daje wartość $\mathsf{f}(0)$
6. $\mathsf{B}=(\boxed{7},0),\mathsf{D}=(0,\boxed{\frac{21}{2}})$
7. Pole jako różnica figur
8. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \mathsf{f}(\mathsf{x})+\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{2}\cdot \mathsf{x}-\frac{147}{4}$
9. od pola czworokąta z wierzchołkiem w początku układu odejmujemy trójkąt prostokątny odcięty przez osie
10. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\frac{21}{4}\cdot \frac{{\mathsf{x}}^2-98}{\mathsf{x}-14}-\frac{147}{4}$
11. oba składniki mają wspólny czynnik, więc wracamy do jednego ułamka
12. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\frac{21}{4}\cdot \frac{{\mathsf{x}}^2-98-7(\mathsf{x}-14)}{\mathsf{x}-14}$
13. wyrazy wolne redukują się, zostaje różnica z czynnikiem $\mathsf{x}$
14. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{\frac{21}{4}\cdot \frac{\mathbf{x}(\mathbf{x}-7)}{\mathbf{x}-14}}$
15. Pochodna i punkt krytyczny
16. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{21}{4}\cdot \frac{{\mathsf{x}}^2-28x+98}{(\mathsf{x}-14{)}^2}$
17. mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc o znaku pochodnej decyduje licznik
18. ${\mathsf{x}}^2-28x+98=0$
19. współczynnik przy $\mathsf{x}$ jest parzysty, więc wystarczy wyróżnik skrócony
20. $\mathsf{x}=14\pm 7\sqrt{2}\Rightarrow {\mathsf{x}}_0=\boxed{14-7\sqrt{2}}$
21. Największe pole
22. ${\mathsf{P}}^{\prime }>0\text{ na }(0,14-7\sqrt{2}),{\mathsf{P}}^{\prime }<0\text{ na }(14-7\sqrt{2},7)$
23. pole rośnie do ${\mathsf{x}}_0$, a za nim maleje, więc tam przyjmuje wartość największą
24. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{max}}=\boxed{\frac{441}{4}-\frac{147\sqrt{2}}{2}}$

Podstawienie i nierówność między średnimi

1. Równość zachodzi dla $\mathsf{t}=7\sqrt{2}$, czyli dla $\mathsf{x}=14-7\sqrt{2}$.
2. Bez pochodnej
3. $\mathsf{t}=14-\mathsf{x}$, przy czym $\mathsf{t}>0$
4. $\mathsf{P}=\frac{21}{4}\cdot \frac{(14-\mathsf{t}{)}^2-98}{-\mathsf{t}}-\frac{147}{4}$
5. po podstawieniu mianownik jest równy $-\mathsf{t}$
6. $\mathsf{P}=\frac{21}{4}\cdot \left(28-\mathsf{t}-\frac{98}{\mathsf{t}}\right)-\frac{147}{4}$
7. suma jest najmniejsza, gdy oba składniki są równe, czyli gdy $\mathsf{t}$ jest pierwiastkiem z licznika
8. $\mathsf{P}\le \frac{21}{4}\cdot \left(28-14\sqrt{2}\right)-\frac{147}{4}=\boxed{\frac{441}{4}-\frac{147\sqrt{2}}{2}}$