Najmniejsze pole trojkata z okregiem wpisanym

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1: wzór na pole z okręgu wpisanego

1. Kluczem 12.1 jest wzór $\mathsf{r}=\frac{2P}{\mathsf{L}}$ - łączy on daną (promień $3$) z niewiadomą wysokością. Po jej wyznaczeniu pole liczymy już wprost, a $\frac{1}{2}\cdot 6=3$ daje współczynnik licznika.
2. Krok 1. Dane i rysunek
3. Trójkąt równoramienny o podstawie $\mathsf{x}$ i wysokości $\mathsf{h}$; okrąg wpisany ma promień $\mathsf{r}=3$ (połowa średnicy $6$).
4. $\mathsf{r}=3,\mathsf{h}=?,\mathsf{P}=\frac{1}{2}\mathsf{xh}$
5. Krok 2. Wysokość $\mathsf{h}(\mathsf{x})$
6. Dla okręgu wpisanego $\mathsf{r}=\frac{2P}{\mathsf{L}}$, gdzie $\mathsf{L}$ to obwód. Ramię trójkąta ma długość $\sqrt{{\mathsf{h}}^2+{\left(\frac{\mathsf{x}}{2}\right)}^2}$.
7. $3=\frac{2\cdot \frac{1}{2}\mathsf{xh}}{\mathsf{x}+2\sqrt{{\mathsf{h}}^2+\frac{{\mathsf{x}}^2}{4}}}$
8. promień okręgu wpisanego to podwojone pole podzielone przez obwód; podstawiamy $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\mathsf{xh}$ oraz $\mathsf{L}=\mathsf{x}+2\cdot \text{ramię}$
9. $3\left(\mathsf{x}+2\sqrt{{\mathsf{h}}^2+\frac{{\mathsf{x}}^2}{4}}\right)=\mathsf{xh}$
10. mnożymy na krzyż, a następnie zostawiamy pierwiastek po jednej stronie i podnosimy obie strony do kwadratu
11. $\mathsf{h}=\frac{6{\mathsf{x}}^2}{{\mathsf{x}}^2-36}$
12. po uproszczeniu w liczniku pojawia się średnica $2r=6$, a w mianowniku różnica ${\mathsf{x}}^2-36$ (gdzie $36=6^2$)
13. $\mathsf{h}=\boxed{\frac{6x^2}{x^2-36}}$
14. Krok 3. Pole $\mathsf{P}(\mathsf{x})$
15. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\mathsf{x}\cdot \mathsf{h}=\frac{1}{2}\mathsf{x}\cdot \frac{6{\mathsf{x}}^2}{{\mathsf{x}}^2-36}$
16. wstawiamy wyznaczoną wysokość do wzoru na pole trójkąta
17. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{\frac{3{\mathbf{x}}^3}{{\mathbf{x}}^2-36}}$

Zadanie 12.2: najmniejsze pole przez pochodną

1. Warunkiem minimum jest zmiana znaku pochodnej z $-$ na $+$. Sam fakt ${\mathsf{P}}^{\prime }(6\sqrt{3})=0$ nie wystarcza - dlatego badamy znak po obu stronach.
2. Krok 1. Pochodna ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})$
3. Reguła ilorazu dla $\mathsf{u}=3{\mathsf{x}}^3$, $\mathsf{v}={\mathsf{x}}^2-36$: ${\mathsf{u}}^{\prime }=9{\mathsf{x}}^2$, ${\mathsf{v}}^{\prime }=2x$.
4. ${\mathsf{P}}^{\prime }=\frac{{\mathsf{u}}^{\prime }\mathsf{v}-\mathsf{u}{\mathsf{v}}^{\prime }}{{\mathsf{v}}^2}$
5. pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
6. ${\mathsf{P}}^{\prime }=\frac{9{\mathsf{x}}^2\left({\mathsf{x}}^2-36\right)-3{\mathsf{x}}^3\cdot 2x}{{\left({\mathsf{x}}^2-36\right)}^2}$
7. w liczniku wyraz ${\mathsf{x}}^4$ redukuje się częściowo, a z reszty wyłączamy wspólny czynnik $3{\mathsf{x}}^2$
8. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{x})=\boxed{\frac{3{\mathbf{x}}^2\left({\mathbf{x}}^2-108\right)}{{\left({\mathbf{x}}^2-36\right)}^2}}$
9. Krok 2. Miejsce zerowe w dziedzinie
10. Mianownik i $3{\mathsf{x}}^2$ są dodatnie na $(6,13]$, więc znak ${\mathsf{P}}^{\prime }$ zależy tylko od czynnika ${\mathsf{x}}^2-108$.
11. ${\mathsf{x}}^2-108=0$
12. przyrównujemy do zera jedyny czynnik mogący zmienić znak; bierzemy pierwiastek dodatni, bo $\mathsf{x}$ to długość
13. ${\mathsf{x}}^2=108$
14. $108=3\cdot 36=36^2$, więc pierwiastek wyciąga się do postaci $6\sqrt{3}$
15. $\mathsf{x}=\boxed{6\sqrt{3}}$
16. Krok 3. Znak ${\mathsf{P}}^{\prime }$ i wniosek
17. Czynnik ${\mathsf{x}}^2-108$ zmienia znak w $6\sqrt{3}$: ujemny wcześniej, dodatni później.
18. ${\mathsf{P}}^{\prime }<0\text{na}\left(6,6\sqrt{3}\right)$
19. dla $\mathsf{x}$ mniejszych od $6\sqrt{3}$ czynnik ${\mathsf{x}}^2-108$ jest ujemny, więc funkcja $\mathsf{P}$ maleje
20. ${\mathsf{P}}^{\prime }>0\text{na}\left(6\sqrt{3},13\right]$
21. dla $\mathsf{x}$ większych od $6\sqrt{3}$ czynnik jest dodatni, więc $\mathsf{P}$ rośnie - z malejącej na rosnącą przechodzi w minimum
22. $\Rightarrow \boxed{\text{minimum w }x=6\sqrt{3}}$
23. Krok 4. Najmniejsze pole
24. Wstawiamy $\mathsf{x}=6\sqrt{3}$ do wzoru na $\mathsf{P}$. Wtedy ${\mathsf{x}}^2=108$, a wysokość wynosi $\mathsf{h}=9$.
25. $\mathsf{P}\left(6\sqrt{3}\right)=\frac{3{\left(6\sqrt{3}\right)}^3}{108-36}$
26. w mianowniku ${\mathsf{x}}^2-36=108-36=72$; licznik zawiera ${\left(6\sqrt{3}\right)}^3$
27. ${\mathsf{P}}_{\min }=\boxed{27\sqrt{3}}$

Najczęstsza pomyłka 12.2: uznanie, że skoro ${\mathsf{P}}^{\prime }(6\sqrt{3})=0$, to od razu jest tam minimum - bez sprawdzenia znaku po obu stronach można równie dobrze trafić na maksimum lub punkt przegięcia. Druga pułapka: szukanie ekstremum na krańcu $13$ dziedziny zamiast wewnątrz.

Dziedzina zaczyna się od $\mathsf{x}>6$, bo dla $\mathsf{x}\le 6$ mianownik ${\mathsf{x}}^2-36$ nie jest dodatni i trójkąt z okręgiem wpisanym o promieniu $3$ nie istnieje. Miejsce zerowe $6\sqrt{3}\approx 10.39$ leży wewnątrz $(6,13]$, więc minimum jest osiągane.