Zminimalizuj objętość bryły

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: funkcja jednej zmiennej i pochodna

1. Ten sam rachunek działa dla dowolnej bryły o podstawie foremnej: zmienia się wyłącznie stała przed ${\mathsf{m}}^3$, a miejsce zerowe pochodnej zależy tylko od podanej odległości.
2. Warunek na odległość
3. $\mathsf{h}$ i $\mathsf{m}$ to przyprostokątne, $11$ to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną
4. $11=\frac{\mathsf{h}\cdot \mathsf{m}}{\sqrt{{\mathsf{h}}^2+{\mathsf{m}}^2}}$
5. iloczyn przyprostokątnych podzielony przez przeciwprostokątną daje wysokość trójkąta prostokątnego
6. $121\left({\mathsf{h}}^2+{\mathsf{m}}^2\right)={\mathsf{h}}^2{\mathsf{m}}^2$
7. składniki z ${\mathsf{h}}^2$ zbieramy po jednej stronie i wyłączamy je przed nawias
8. ${\mathsf{h}}^2=\boxed{\frac{121m^2}{m^2-121}}$
9. Pole powierzchni bocznej jako funkcja jednej zmiennej
10. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\mathsf{m}\cdot \sqrt{{\mathsf{h}}^2+{\mathsf{m}}^2}$
11. wstawiamy zależność z poprzedniego kroku, po czym zostaje jedna zmienna
12. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}(\mathsf{m})=\boxed{\frac{3\sqrt{3}{m}^3}{\sqrt{m^2-121}}}$
13. Pochodna i jej miejsce zerowe
14. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}^{\prime }(\mathsf{m})=\frac{3\sqrt{3}{\mathsf{m}}^2(2{\mathsf{m}}^2-363)}{({\mathsf{m}}^2-121)\sqrt{{\mathsf{m}}^2-121}}$
15. mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc pochodna zeruje się tam, gdzie zeruje się licznik
16. $2{\mathsf{m}}^2-363=0$
17. z dwóch rozwiązań do dziedziny należy tylko dodatnie
18. $\mathsf{m}=\boxed{\frac{11\sqrt{6}}{2}}$
19. Znak pochodnej
20. zmiana z ujemnej na dodatnią oznacza minimum
21. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}^{\prime }(\mathsf{m})<0\text{dla}\mathsf{m}\in (11,\frac{11\sqrt{6}}{2})$
22. przed znalezioną wartością czynnik $2{\mathsf{m}}^2-363$ jest ujemny
23. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}^{\prime }(\mathsf{m})>0\text{dla}\mathsf{m}\in (\frac{11\sqrt{6}}{2},+\infty )$
24. Najmniejsze pole powierzchni bocznej
25. $\mathsf{m}=\frac{11\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {\mathsf{m}}^2=\frac{363}{2}$
26. kwadrat znalezionej wartości wstawiamy do wzoru funkcji
27. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b},\min }=\boxed{\frac{3267}{2}}$

Dziedziną jest przedział $(11,+\infty )$: dla $\mathsf{m}=11$ mianownik ${\mathsf{m}}^2-121$ zeruje się, a dla mniejszych wartości byłby ujemny.