Zmaksymalizuj objętość bryły

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna funkcji celu

1. 13.1. Zależność z warunku
2. $3H+\frac{1}{2}\mathsf{r}=18$
3. Warunek wiąże obie wielkości, więc druga jest funkcją zmiennej $\mathsf{r}$.
4. $\mathsf{H}=6-\frac{1}{6}\mathsf{r}$
5. 13.1. Wzór funkcji
6. $\mathsf{w}=3r$
7. Podstawiamy wyrażenie z poprzedniego kroku do wzoru na pole przekroju.
8. $\mathsf{P}(\mathsf{r})=3r\cdot \left(6-\frac{1}{6}\mathsf{r}\right)$
9. Wymnażamy czynniki i wyłączamy stały współczynnik przed nawias.
10. $\boxed{P(r)=18r-\frac{1}{2}{r}^2}$
11. 13.2. Miejsce zerowe pochodnej
12. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{r})=18-\mathsf{r}$
13. Stały współczynnik jest dodatni, więc o znaku pochodnej decyduje nawias.
14. $18-\mathsf{r}=0$
15. Zostaje tylko pierwiastek należący do dziedziny.
16. $\mathsf{r}=\boxed{18}$
17. 13.2. Znak pochodnej
18. ${\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{r})>0\text{ dla }\mathsf{r}\in \left(0,18\right),{\mathsf{P}}^{\prime }(\mathsf{r})<0\text{ dla }\mathsf{r}\in \left(18,36\right)$
19. Funkcja rośnie do punktu $\mathsf{r}=18$ i maleje za nim, więc ma tam wartość największą.
20. $\mathsf{P}\nearrow \text{ w }(0,18⟩,\mathsf{P}\searrow \text{ w }⟨18,36)$
21. 13.2. Wielkość pytana
22. $\mathsf{a}=2\sqrt{3}\mathsf{r}$
23. 13.2. Wynik
24. $\mathsf{r}=18,\mathsf{H}=3$
25. Wartość największą liczymy w punkcie $\mathsf{r}=18$.
26. $\mathsf{a}=\boxed{36\sqrt{3}},{\mathsf{P}}_{\max }=\boxed{162}$

Najczęstsza pomyłka: uznanie za kandydata miejsca zerowego pochodnej spoza dziedziny albo podanie wartości w punkcie bez uzasadnienia, że to maksimum.