Wyznacz równanie stycznej

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna i równanie stycznej

1. Odcięta punktu styczności
2. $\frac{12x+54}{\mathsf{x}+6}=6$
3. Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji; mnożymy przez mianownik, który dla $\mathsf{x}\ne -6$ jest różny od zera.
4. $12x+54=6(\mathsf{x}+6)$
5. Wyrazy z $\mathsf{x}$ przenosimy na lewą stronę, liczby na prawą.
6. $6x=-18$
7. Dzielimy przez współczynnik przy $\mathsf{x}$.
8. ${\mathsf{x}}_0=\boxed{-3}$
9. Pochodna funkcji
10. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=12-\frac{18}{\mathsf{x}+6}=\frac{12x+54}{\mathsf{x}+6}$
11. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika funkcja jest ilorazem dwóch funkcji liniowych.
12. ${\mathsf{g}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{12(\mathsf{x}+6)-(12x+54)}{(\mathsf{x}+6{)}^2}$
13. Pochodna ilorazu: pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika.
14. ${\mathsf{g}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{18}{(\mathsf{x}+6{)}^2}$
15. Współczynnik kierunkowy stycznej
16. ${\mathsf{g}}^{\prime }(-3)=\frac{18}{(3{)}^2}=\boxed{2}$
17. Równanie stycznej
18. $\mathsf{y}-6=2(\mathsf{x}+3)$
19. Styczna przechodzi przez punkt $(-3,6)$ i ma współczynnik kierunkowy $2$: $\mathsf{y}-{\mathsf{y}}_0={\mathsf{f}}^{\prime }({\mathsf{x}}_0)(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_0)$.
20. $\mathsf{y}=\boxed{2x+12}$